(i) $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{1 / x^{2}}

Passo 1

O exercício pede o cálculo de limxto0(cos x)^1/x^2. O conteúdo aqui é limite de tipo indeterminado 1^infty, e para resolver vamos precisar usar a transformação pelo logaritmo e uma expansão de séries (ou o limite padrão ln(1+u)/uto1).

Passo 2

Para lidar com a forma 1^infty, definimos L=limxto0(cos x)^1/x^2 e aplicamos o logaritmo:
ln L = limxto0 ln(cos x)x^2
Agora calculamos limxto0 ln(cos x)x^2. Usamos a expansão de cos x em torno de zero:
cos x = 1 - x^22 + o(x^2)
Em seguida, aplicamos ln(1+u)approx u quando uto0:
ln(cos x)=lnl(1 - x^22 + o(x^2)r)=-x^22+o(x^2)
Logo,
limxto0ln(cos x)x^2=limxto0-x^22+o(x^2)x^2=-12
Portanto,
ln L = -12Longrightarrow L = e^-1/2

Resposta

e^{-1/2}

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