(d) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{8 x^{2}}{\cos (x)-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0 8x^2cos(x)-1. O conteúdo é limites envolvendo funções trigonométricas e vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor de cos(x) em torno de zero.

Passo 2

O desenvolvimento de Taylor de cos(x) em torno de x=0 é
cos(x)=1-x^22+x^424+O(x^6)

Passo 3

Assim,
cos(x)-1=-x^22+O(x^4)

Passo 4

Substituindo essa aproximação no limite, temos
8x^2cos(x)-1=8x^2-x^22+O(x^4)

Passo 5

Fatorando x^2 no denominador:
8x^2x^2l(-tfrac12+O(x^2)r)=8-tfrac12+O(x^2)

Passo 6

Quando xto0, o termo O(x^2) tende a zero, ficando
8-tfrac12=-16

Resposta

-16

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