i)
,
ii)
se
então
.
iii)
, se
então
.
a) Qual a menor álgebra possível?
ii)
iii)
a) Qual a menor álgebra possível?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado tá pedindo. A gente tem um conjunto Ω e uma coleção de subconjuntos 𝒜 que satisfaz:
- Ω tá em 𝒜,
- se um conjunto A tá em 𝒜, o complemento Aᶜ também tá em 𝒜,
- se A₁,…,Aₙ estão em 𝒜, a união ∪ᵢAᵢ também tá em 𝒜.
Isso é o que a gente chama de “álgebra de conjuntos” (fecha em complementos e uniões finitas). A pergunta (a) é: qual é a menor álgebra possível? Precisamos ver qual coleção mínima de conjuntos já satisfaz essas três propriedades sem sobrar nada.
Passo 2
Pra achar a menor álgebra, pense assim: regra 1 obriga Ω em 𝒜.
Daí pela regra 2, o complemento de Ω, que é o conjunto vazio ∅, também tem que estar em 𝒜.
Até aqui a gente já tem 𝒜 = {Ω, ∅}.
Daí pela regra 2, o complemento de Ω, que é o conjunto vazio ∅, também tem que estar em 𝒜.
Até aqui a gente já tem 𝒜 = {Ω, ∅}.
Passo 3
Agora, tem que checar se {Ω, ∅} satisfaz tudo e não precisa adicionar mais nada:
- Ω tá lá, beleza.
- Complemento de Ω é ∅ (que tá lá) e complemento de ∅ é Ω (que tá lá).
- União finita:
• Ω∪Ω = Ω,
• Ω∪∅ = Ω,
• ∅∪∅ = ∅.
Todas essas uniões continuam em {Ω, ∅}, então fechou.
E não dá pra tirar nenhum dos dois sem quebrar alguma regra (se você tirar Ω, a regra 1 falha; se tirar ∅, o complemento de Ω some). Logo, é realmente a menor.
Resposta
A menor álgebra possível é