i) Omega in A,
ii) se Ai in A então Ai ^c in A, forall i=1,2, cdots, n.
iii) forall n, se A1, A2, cdots, An in A então cupi=1^n Ai in A.
a) Qual a menor álgebra possível?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado tá pedindo. A gente tem um conjunto Ω e uma coleção de subconjuntos 𝒜 que satisfaz:
  1. Ω tá em 𝒜,
  2. se um conjunto A tá em 𝒜, o complemento Aᶜ também tá em 𝒜,
  3. se A₁,…,Aₙ estão em 𝒜, a união ∪ᵢAᵢ também tá em 𝒜.
    Isso é o que a gente chama de “álgebra de conjuntos” (fecha em complementos e uniões finitas). A pergunta (a) é: qual é a menor álgebra possível? Precisamos ver qual coleção mínima de conjuntos já satisfaz essas três propriedades sem sobrar nada.

Passo 2

Pra achar a menor álgebra, pense assim: regra 1 obriga Ω em 𝒜.
Daí pela regra 2, o complemento de Ω, que é o conjunto vazio ∅, também tem que estar em 𝒜.
Até aqui a gente já tem 𝒜 = {Ω, ∅}.

Passo 3

Agora, tem que checar se {Ω, ∅} satisfaz tudo e não precisa adicionar mais nada:
  • Ω tá lá, beleza.
  • Complemento de Ω é ∅ (que tá lá) e complemento de ∅ é Ω (que tá lá).
  • União finita:
    • Ω∪Ω = Ω,
    • Ω∪∅ = Ω,
    • ∅∪∅ = ∅.
    Todas essas uniões continuam em {Ω, ∅}, então fechou.
    E não dá pra tirar nenhum dos dois sem quebrar alguma regra (se você tirar Ω, a regra 1 falha; se tirar ∅, o complemento de Ω some). Logo, é realmente a menor.

Resposta

A menor álgebra possível é
emptyset,;Omega

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