(i) Resolva a seguinte inequação |x+1|>raizx^2-5. (ii) Determine o conjunto dos valores de x tais que x+1=raizx^2-5.

Passo 1

Resumo da questão: temos duas partes. Na parte (i) queremos resolver a inequação |x+1>raizx^2-5. Na parte (ii) resolver a equação x+1=raizx^2-5. Vamos usar conhecimento de domínio de expressões com raiz, discussão de casos para valor absoluto e propriedades de inequações e equações envolvendo radicais.

Passo 2

Como existe raizx^2-5, exigimos x^2-5>=0, logo x<= -raiz5 ou x>= raiz5.

Passo 3

Para resolver |x+1|>raizx^2-5 fazemos discussão de casos sobre o sinal de x+1.
Caso 1: se x+1>=0 (ou seja, x>=-1), então |x+1|=x+1 e a inequação vira x+1>raizx^2-5. Como ambos os lados são não negativos, podemos elevar ao quadrado e obter (x+1)^2>x^2-5, que leva a 2x+1>-5 e portanto x>-3. Juntando com x>=-1 e o domínio x>=raiz5 ficamos com x>=raiz5.
Caso 2: se x+1<0 (ou seja, x<-1), então |x+1|=-x-1 e a inequação vira -x-1>raizx^2-5. Elevando ao quadrado (pois o lado esquerdo é positivo para x<-1) obtemos (-x-1)^2>x^2-5, que também leva a 2x+1>-5 e x>-3. Intersectando -3 com o domínio x<=-raiz5 chega-se a -3.

Passo 4

Unindo os casos, a solução da inequação |x+1|>raizx^2-5 é o conjunto (-3,-raiz5]cup[raiz5,infty).

Passo 5

Agora, para a parte (ii), resolver x+1=raizx^2-5. Usamos o domínio x^2-5>=0, isto é x<=-raiz5 ou x>=raiz5. Além disso, raizx^2-5>=0, logo precisamos de x+1>=0 e assim x>=-1. Disto sobra apenas x>=raiz5.
Elevando ao quadrado em x>=raiz5 a equação x+1=raizx^2-5 (x+1)^2=x^2-5, cujo único candidato é x=-3, mas isso não satisfaz x>=raiz5. Portanto não há solução real da equação.

Resposta

Parte (i): (-3,-raiz5]cup[raiz5,infty); Parte (ii): varnothing

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