calcule:
integral duplai 1+x^21+y^2 d A, R=(x, y) mid 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla integral duplaR 1+x^21+y^2 , dA, onde a região R é definida por 0 < x <= 1 e 0 <= y <= 1. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de integrais múltiplas. Vamos precisar entender como separar a integral em partes mais simples para resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração R. Ela é um quadrado no plano xy com lados de 0 a 1 em ambas as direções. Isso facilita porque os limites de integração são constantes, o que torna a integral mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função que vamos integrar: 1+x^21+y^2. Essa função pode ser separada em uma parte que depende apenas de x e outra que depende apenas de y. Ou seja,
1+x^21+y^2 = (1 + x^2) cdot 11 + y^2
Isso significa que podemos separar a integral dupla em duas integrais simples, uma em x e outra em y.

Passo 4

Vamos separar a integral:
integral duplaR 1+x^21+y^2 , dA = ( integral0^1 (1 + x^2) , dx ) cdot ( integral0^1 11 + y^2 , dy )
Primeiro, calculamos a integral em x:
integral0^1 (1 + x^2) , dx = [ x + x^33 ]0^1 = 1 + 13 = 43
Depois, calculamos a integral em y:
integral0^1 11 + y^2 , dy = [ arctan(y) ]0^1 = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0 = pi4

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais:
43 times pi4 = pi3
Então, o valor da integral dupla é pi3.

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