i) Seja z=x / n, mostre que z satisfaz o problema de valor inicial
d zd t=-beta z(1-nu z), z(0)=1

Passo 1

Estamos tratando de um problema de EDO com mudança de variável: o conteúdo é derivada de uma função composta e aplicação da regra da cadeia para reescrever a equação de x(t) em termos de z(t)=x(t)/n. Vamos usar a equação original de x (assumindo que seja dx/dt=-beta x,(n-nu x) com x(0)=n).

Passo 2

Definimos z=x/n. Para obter dz/dt aplicamos a regra da cadeia:
dz/dt=1ndxdt

Passo 3

Substituímos a expressão de dx/dt dada pela EDO original:
dz/dt=1nl(-beta x,(n-nu x)r)

Passo 4

Como x=nz, temos
dz/dt=-betanznl(n-nu(nz)r)/n=-beta z,(1-nu z)

Passo 5

Por fim, da condição inicial x(0)=n segue z(0)=x(0)/n=1, mostrando que z satisfaz o IVP indicado.

Resposta

A função z=x/n satisfaz
dzdt=-beta z,(1-nu z), z(0)=1

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