Use o método da transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
ly^prime prime+2 y=2 cos (t), y(0)=3, y^prime(0)=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação com as condições iniciais e . A Transformada de Laplace é útil pra resolver equações diferenciais porque ela transforma a equação no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly = Y(s)
Lcos(t) = ss^2 + 1
Aplicando isso na equação:
Ly'' + 2Ly = 2Lcos(t)

Passo 3

Substituindo as transformadas:
s^2 Y(s) - s cdot 3 - 4 + 2Y(s) = 2 cdot ss^2 + 1
Simplificando os termos:
(s^2 + 2) Y(s) - 3s - 4 = 2ss^2 + 1

Passo 4

Agora, vamos isolar (s^2 + 2) Y(s) = 3s + 4 + 2ss^2 + 1 :
Y(s) = 3s + 4s^2 + 2 + 2s(s^2 + 1)(s^2 + 2)

Passo 5

Vamos simplificar a segunda fração usando frações parciais. Precisamos escrever:
2s(s^2 + 1)(s^2 + 2) = As + Bs^2 + 1 + Cs + Ds^2 + 2
Multiplicando ambos os lados por 2s = (As + B)(s^2 + 2) + (Cs + D)(s^2 + 1) :
2s = (A + C)s^3 + (B + D)s^2 + (2A + C)s + (2B + D)
Expandindo e agrupando termos:
A + C = 0 B + D = 0 2A + C = 2 2B + D = 0
Comparando os coeficientes:
2s(s^2 + 1)(s^2 + 2) = 2ss^2 + 1 - 2ss^2 + 2
Resolvendo esse sistema, encontramos , , , .
Então:

Passo 6

Voltando à expressão de Y(s) = 3s + 4s^2 + 2 + 2ss^2 + 1 - 2ss^2 + 2 :
Y(s) = 3s + 4 - 2ss^2 + 2 + 2ss^2 + 1 = s + 4s^2 + 2 + 2ss^2 + 1
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar L^-1ss^2 + a^2 = cos(at) . Sabemos que:
L^-1as^2 + a^2 = sin(at)
y(t) = L^-1ss^2 + 2 + 4L^-11s^2 + 2 + 2L^-1ss^2 + 1
Aplicando isso:
y(t) = cos(raiz2t) + 4raiz2 sin(raiz2t) + 2cos(t)
y(t) = cos(raiz2t) + 2raiz2 sin(raiz2t) + 2cos(t)
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = cos(raiz2, t,) + 2raiz2, sin(raiz2, t,) + 2cos(t)

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