Use o método da transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação com as condições iniciais e . A Transformada de Laplace é útil pra resolver equações diferenciais porque ela transforma a equação no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que:
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos isolar :
Passo 5
Vamos simplificar a segunda fração usando frações parciais. Precisamos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo e agrupando termos:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo esse sistema, encontramos , , , .
Então:
Passo 6
Voltando à expressão de Y(s) = 3s + 4s^2 + 2 + 2ss^2 + 1 - 2ss^2 + 2 :