Use a transformada da derivada para demonstrar que Lt cos (omega t). A partir desta, prove que
Lsen(omega t)-omega t cos (omega t)=2 omega^3(s^2+omega^2)^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace da função Lsin(omega t) - omega t cos(omega t) = 2 omega^3(s^2 + omega^2)^2 usando a transformada da derivada. Depois, com esse resultado, vamos provar que:
Para isso, precisamos conhecer a transformada de Laplace básica e a propriedade que relaciona a transformada da derivada de uma função.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a transformada de Laplace de Lcos(omega t) = ss^2 + omega^2 é:
Lt f(t) = -dds Lf(t)
Agora, para encontrar , usamos a propriedade da transformada da derivada em relação a :
Aqui, , então:

Passo 3

Aplicando a propriedade:
Lt cos(omega t) = -dds ( ss^2 + omega^2 )
Vamos calcular a derivada:

Passo 4

Calculando a derivada, usamos a regra do quociente:
-dds ( ss^2 + omega^2 ) = -( (1)(s^2 + omega^2) - s(2s)(s^2 + omega^2)^2 ) = -( s^2 + omega^2 - 2s^2(s^2 + omega^2)^2 )
Simplificando:

Passo 5

- ( -s^2 + omega^2(s^2 + omega^2)^2 ) = s^2 - omega^2(s^2 + omega^2)^2
Então, temos:
Lt cos(omega t) = s^2 - omega^2(s^2 + omega^2)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace da função Lsin(omega t) = omegas^2 + omega^2 . Sabemos que:
E já encontramos . Então:

Passo 7

Aplicando a linearidade da transformada de Laplace:
Lsin(omega t) - omega t cos(omega t) = Lsin(omega t) - omega Lt cos(omega t)
Substituindo os valores:

Passo 8

= omegas^2 + omega^2 - omega ( s^2 - omega^2(s^2 + omega^2)^2 )
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 9

Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
= omega (s^2 + omega^2) - omega (s^2 - omega^2)(s^2 + omega^2)^2
Distribuindo o :

Passo 10

= omega s^2 + omega^3 - omega s^2 + omega^3(s^2 + omega^2)^2 = 2 omega^3(s^2 + omega^2)^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
Lsin(omega t) - omega t cos(omega t) = 2 omega^3(s^2 + omega^2)^2

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