Use a transformada da derivada para demonstrar que
. A partir desta, prove que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace da função
usando a transformada da derivada. Depois, com esse resultado, vamos provar que:
Para isso, precisamos conhecer a transformada de Laplace básica e a propriedade que relaciona a transformada da derivada de uma função.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a transformada de Laplace de
é:
Agora, para encontrar
, usamos a propriedade da transformada da derivada em relação a
:
Aqui,
, então:
Passo 3
Aplicando a propriedade:
Vamos calcular a derivada:
Passo 4
Calculando a derivada, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace da função
. Sabemos que:
E já encontramos
. Então:
Passo 7
Aplicando a linearidade da transformada de Laplace:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 9
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Distribuindo o
:
Passo 10
Resposta
Portanto, mostramos que: