Use o método da transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando o método da transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
com as condições iniciais
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das transformadas de Laplace, que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência (s), facilitando a resolução. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de
é
, e a transformada de
é
. A transformada de
é
.
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
e os termos constantes:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Vamos isolar
na equação:
Simplificando a direita:
Calculando
:
Passo 6
Agora, simplificamos a fração:
Passo 7
Vamos simplificar ainda mais
:
Podemos decompor essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Passo 8
Observamos que
, então:
Simplificando:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
e
Aplicando isso na nossa expressão para
:
Usando a segunda fórmula com
e
:
Passo 10
Finalmente, juntando os termos:
Podemos fatorar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: