Use o método da transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
ly^prime prime+2 y^prime+y=e^-t, y(0)=-1, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando o método da transformada de Laplace. O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação é:
y'' + 2y' + y = e^-t,
com as condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das transformadas de Laplace, que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência (s), facilitando a resolução. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Ly'' + 2Ly' + Ly = Le^-t é (s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 2(s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 1s + 1 , e a transformada de é . A transformada de é .
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais (s^2 Y(s) - s (-1) - 1) + 2(s Y(s) - (-1)) + Y(s) = 1s + 1 e s^2 Y(s) + s - 1 + 2s Y(s) + 2 + Y(s) = 1s + 1 na equação:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm (s^2 + 2s + 1) Y(s) + (s - 1 + 2) = 1s + 1 e os termos constantes:
(s^2 + 2s + 1) Y(s) + (s + 1) = 1s + 1
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Vamos isolar (s^2 + 2s + 1) Y(s) = 1s + 1 - (s + 1) na equação:
(s^2 + 2s + 1) Y(s) = 1 - (s + 1)^2s + 1
Simplificando a direita:
(s^2 + 2s + 1) Y(s) = 1 - s^2 - 2s - 1s + 1 = -s^2 - 2ss + 1
Calculando :

Passo 6

Agora, simplificamos a fração:
Y(s) = -s^2 - 2s(s + 1)(s^2 + 2s + 1) = -s(s + 2)(s + 1)(s + 1)^2 = -s(s + 2)(s + 1)^3

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais Y(s) = -s(s + 2)(s + 1)^3 = -s^2 - 2s(s + 1)^3 :
Y(s) = -s^2 - 2s(s + 1)^3 = - (s^2 + 2s)(s + 1)^3
Podemos decompor essa fração para facilitar a aplicação da transformada inversa:

Passo 8

Observamos que Y(s) = - [(s + 1)^2 - 1](s + 1)^3 = - (s + 1)^2 + 1(s + 1)^3 = -(s + 1)^2(s + 1)^3 + 1(s + 1)^3 , então:
Y(s) = -1s + 1 + 1(s + 1)^3
Simplificando:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s + a = e^-a t
e
L^-11(s + a)^n = t^n-1 e^-a t(n-1)!
Aplicando isso na nossa expressão para y(t) = -e^-t + L^-11(s + 1)^3 :
L^-11(s + 1)^3 = t^2 e^-t2
Usando a segunda fórmula com e :

Passo 10

Finalmente, juntando os termos:
y(t) = -e^-t + t^2 e^-t2
Podemos fatorar y(t) = e^-t ( -1 + t^22 ) :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^-t ( t^22 - 1 )

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