Se I1, I2, ldots, Ik são ideais em Z, mostre que:
I1 cap I2 cap ldots cap Ik é um ideal em Z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um número finito de ideais I1,I2,dots,Ik no anel Z, a interseção I1cap I2capcdotscap Ik também é um ideal. O conteúdo aqui é teoria de ideais em anéis comutativos, e vamos precisar usar a definição de ideal em Z: subsequência aditiva que absorve multiplicação por quaisquer inteiros.

Passo 2

Em Z, um subconjunto I é um ideal se, e somente se: (i) é um subgrupo aditivo de Z, ou seja, fechado sob soma e sob inverso aditivo; (ii) para todo minZ e todo ain I, vale mcdot ain I. Vamos verificar essas duas propriedades para J=I1capcdotscap Ik.

Passo 3

Fechamento aditivo e inverso: sejam a,bin J. Então a,bin Ij para todo j=1,dots,k. Como cada Ij é ideal, temos a+bin Ij e -ain Ij para todo j. Portanto, a+bin J e -ain J, mostrando que J é subgrupo aditivo.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por inteiros: seja minZ e ain J. Como ain Ij para todo j e cada Ij é ideal, segue mcdot ain Ij para todo j. Logo mcdot ain J.

Passo 5

Como J satisfaz fechamento aditivo, tem inverso aditivo e absorve multiplicação por qualquer inteiro, concluímos que J é um ideal de Z.

Resposta

I1cap I2capcdotscap Ik é um ideal em Z.

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