Se
são ideais em
, mostre que:
é um ideal em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um número finito de ideais
no anel
, a interseção
também é um ideal. O conteúdo aqui é teoria de ideais em anéis comutativos, e vamos precisar usar a definição de ideal em
: subsequência aditiva que absorve multiplicação por quaisquer inteiros.
Passo 2
Em
, um subconjunto
é um ideal se, e somente se: (i) é um subgrupo aditivo de
, ou seja, fechado sob soma e sob inverso aditivo; (ii) para todo
e todo
, vale
. Vamos verificar essas duas propriedades para
.
Passo 3
Fechamento aditivo e inverso: sejam
. Então
para todo
. Como cada
é ideal, temos
e
para todo
. Portanto,
e
, mostrando que
é subgrupo aditivo.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por inteiros: seja
e
. Como
para todo
e cada
é ideal, segue
para todo
. Logo
.
Passo 5
Como
satisfaz fechamento aditivo, tem inverso aditivo e absorve multiplicação por qualquer inteiro, concluímos que
é um ideal de
.