Seja Ji=2^i cdot Z. Mostre que:
Z=J0 supsetneq J1 supsetneq J2 supsetneq cdots supsetneq Jn supsetneq cdots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, definindo-se os ideais em Z por Ji=2^iZ, temos a cadeia de inclusões descendentes estritas
Z=J0supsetneq J1supsetneq J2supsetneqcdotssupsetneq Jnsupsetneqcdots
Aqui o conteúdo envolve noções de ideais em anel comutativo e inclusão de conjuntos. Vamos precisar usar a definição de múltiplo em Z e verificar inclusão e desigualdade de conjuntos.

Passo 2

Para ver que cada Ji+1 está contido em Ji, tomamos um elemento genérico
xin Ji+1. Por definição existe kinZ tal que
x=2^i+1k=2^i(2k)
Como 2kinZ, concluímos que xin Ji. Logo Ji+1subseteq Ji.

Passo 3

Para mostrar que a inclusão não é trivial, escolhemos um elemento que pertence a Ji mas não a Ji+1. Um bom candidato é
2^iin Ji, pois 2^i=2^icdot1.
Se por absurdo 2^iin Ji+1, então existiria minZ com
$$2i=2{i+1}m\implies1=2m,
$$
o que é impossível em 2^i=2^i+1mimplies1=2m, . Logo Z, provando 2^inotin Ji+1.

Passo 4

Repetindo esse argumento para todo i>=0, obtemos uma cadeia infinita de inclusões estritas
Z=J0supsetneq J1supsetneq J2supsetneqcdotssupsetneq Jnsupsetneqcdots
que é exatamente o que se pedia no enunciado.

Resposta

A cadeia de ideais Ji=2^iZ em Z satisfaz
Z=J0supsetneq J1supsetneq J2supsetneqcdotssupsetneq Jnsupsetneqcdots

Exercícios relacionados