Seja
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, definindo-se os ideais em
por
, temos a cadeia de inclusões descendentes estritas
Aqui o conteúdo envolve noções de ideais em anel comutativo e inclusão de conjuntos. Vamos precisar usar a definição de múltiplo em
Passo 2
Para ver que cada
está contido em
, tomamos um elemento genérico
. Por definição existe
tal que
Como
Passo 3
Para mostrar que a inclusão não é trivial, escolhemos um elemento que pertence a
mas não a
. Um bom candidato é
, pois
.
Se por absurdo , então existiria
com
Se por absurdo
$$2i=2{i+1}m\implies1=2m,
$$
o que é impossível em . Logo
, provando
.
o que é impossível em
Passo 4
Repetindo esse argumento para todo
, obtemos uma cadeia infinita de inclusões estritas
que é exatamente o que se pedia no enunciado.
Resposta
A cadeia de ideais
em
satisfaz