Resolva o problema de valor inicial:
t^2 d xd t+3 t x=t^4 ln t+1, x(1)=0

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
t^2dxdt + 3t,x = t^4ln t + 1, x(1)=0,
uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro reescrevemos em forma padrão dividindo tudo por t^2 (supondo t>0):
dxdt + 3t,x = t^2ln t + 1t^2
Aqui identificamos P(t)=3/t e Q(t)=t^2ln t+1/t^2.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral 3tdtr)=e^3ln t=t^3

Passo 4

Multiplicamos a equação em forma padrão por mu(t)=t^3:
t^3dxdt+3t^2x = t^3l(t^2ln t + 1t^2r) = t^5ln t + t
O lado esquerdo é a derivada de t^3x, pois
ddt(t^3x)=t^3dxdt+3t^2x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
t^3x = integrall(t^5ln t + tr)dt
Para integral t^5ln t,dt usamos partes com u=ln t, dv=t^5dt, obtendo
integral t^5ln t,dt=t^66ln t - t^636
E integral t,dt=tfract^22 Logo
t^3x=t^66ln t - t^636+t^22+C

Passo 6

Dividindo por t^3 achamos a solução geral:
x(t)=t^36ln t - t^336+12t+C,t^-3
Usando a condição inicial x(1)=0:
0=x(1)=-tfrac136+tfrac12+C ,Rightarrow,C=-tfrac1736

Passo 7

Substituindo C na expressão geral, obtemos a solução particular:
x(t)=t^36ln t - t^336+12t-1736,t^3

Resposta

x(t)=\frac{t^{3}}{6}\ln t - \frac{t{3}}{36}+\frac{1}{2t}-\frac{17}{36,t{3}}

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