Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Temos o problema de valor inicial
uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro reescrevemos em forma padrão dividindo tudo por
(supondo
):
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação em forma padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
Para
usamos partes com
,
, obtendo
E
Logo
Passo 6
Dividindo por
achamos a solução geral:
Usando a condição inicial
:
Passo 7
Substituindo
na expressão geral, obtemos a solução particular:
Resposta
x(t)=\frac{t^{3}}{6}\ln t - \frac{t{3}}{36}+\frac{1}{2t}-\frac{17}{36,t{3}}