Resolva o problema de valor inicial:
d yd x-yx=x e^x, y(1)=e-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dydx - yx = x e^x com y(1)=e-1. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para solucioná-la.

Passo 2

Primeiro colocamos na forma padrão dydx + P(x)y = Q(x). Aqui temos P(x)=-tfrac1x e Q(x)=x e^x. O fator integrante vem de mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(-1/x),dx=e^-ln x=tfrac1x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=1/x, obtendo
1xdydx-1x^2y = e^x
e notamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de y/x, pois
ddxl( yxr)=1xdydx-1x^2y
Integrando ambos os lados em relação a x, temos
yx = integral e^x ,dx = e^x + C,
logo a solução geral é y = x(e^x + C) = x e^x + Cx.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(1)=e-1:
1cdot e^1 + Ccdot 1 = e + C = e - 1
isso dá C=-1. Portanto a solução particular é
$$
y(x)=x e^x - x.$$

Resposta

y(x)=x e^x - x

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