Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com
. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para solucioná-la.
Passo 2
Primeiro colocamos na forma padrão
. Aqui temos
e
. O fator integrante vem de
.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
e notamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
Integrando ambos os lados em relação a
, temos
logo a solução geral é
Passo 4
Aplicando a condição inicial
:
isso dá
$$
y(x)=x e^x - x.$$