Se I1, I2, ldots, Ik são ideais em Z, mostre que:
I1+I2+cdots+Ik=x1+x2+cdots+xk ; xj in Ij, para 1 <= j <= k é um ideal de Z.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem ideais I1, I2, dots, Ik em Z e define a soma
como
Z.
O conteúdo é teoria de ideais em anéis (aqui em Z) e precisamos usar a definição de ideal: um ideal em Z é um subgrupo aditivo que absorve multiplicação por elementos de .

Passo 2

Primeiro, mostramos que S é subgrupo de (Z,+):
  • Não é vazio, pois
    0 = 0 + 0 + cdots + 0 in S, já que cada 0 pertence a todo ideal.
  • Fechamento sob diferença: se
    a = sumj=1^k xj e b = sumj=1^k yj
    com xj,yj in Ij, então
    Ij.
    Como cada xj - yj in Ij é ideal, a - b in S, logo .

Passo 3

Agora, verificamos a propriedade de absorção por Z:
seja r in Z e a in S com
a = sumj=1^k xj, xj in Ij.
Então
Ij
e, como cada Z é ideal em r xj in Ij, temos r a in S. Logo .

Passo 4

Como S é subgrupo aditivo de Z e absorve multiplicação por qualquer r in Z, concluímos que S é um ideal de Z.

Resposta

O conjunto I1 + I2 + cdots + Ik é um ideal de Z.

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