Se
são ideais em
, mostre que:
, para
é um ideal de
.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem ideais
em
e define a soma
como
.
O conteúdo é teoria de ideais em anéis (aqui em ) e precisamos usar a definição de ideal: um ideal em
é um subgrupo aditivo que absorve multiplicação por elementos de
.
como
O conteúdo é teoria de ideais em anéis (aqui em
Passo 2
Primeiro, mostramos que
é subgrupo de
:
- Não é vazio, pois
, já que cada pertence a todo ideal. - Fechamento sob diferença: se
e
com, então
.
Como cadaé ideal, , logo .
Passo 3
Agora, verificamos a propriedade de absorção por
:
seja e
com
,
.
Então
e, como cada é ideal em
, temos
. Logo
.
seja
Então
e, como cada
Passo 4
Como
é subgrupo aditivo de
e absorve multiplicação por qualquer
, concluímos que
é um ideal de
.
Resposta
O conjunto
é um ideal de
.