Um objeto repousa sobre o tampo de uma mesa, conectado a uma extremidade de uma mola horizontal cuja outra extremidade é fixa em uma parede. O objeto é puxado para a direita (no sentido do eixo x positivo) por uma força aplicada externamente de módulo 20 N , fazendo com que a mola se distenda em 1 cm .
Estabeleça expressǒes para x(t), v(t) e a(t); Indique claramente como obteve o valor da constante de fase.

Passo 1

Beleza, vamos lá! No enunciado, temos um objeto parado sobre uma mesa, conectado a uma mola que está fixa na parede. Quando puxamos esse objeto com uma força de 20 N para a direita, a mola se estica 1 cm. A gente vai usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) para descobrir as expressões de posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t) do objeto ao longo do tempo. Também vamos ver como determinar a constante de fase nessa situação.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir a constante elástica da mola, que chamamos de k. A relação entre a força ( F) aplicada e a deformação ( x) da mola é dada por:
F = k cdot x
Aqui, F = 20,N e x = 1,cm = 0.01,m. Então, rearranjando a fórmula para encontrar k:
k = Fx = 20,N0.01,m = 2000, Nm
Então, a constante da mola é 2000, Nm.

Passo 3

Agora, vamos pensar no Movimento Harmônico Simples. A equação geral para a posição em MHS é:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude (a máxima distância que o objeto atinge a partir da posição de equilíbrio),
  • omega é a frequência angular, e
  • phi é a constante de fase.
Precisamos determinar esses valores para nosso caso.

Passo 4

A frequência angular ( omega) está relacionada à constante da mola ( k) e à massa do objeto ( m) pela fórmula:
omega = raizkm
No nosso caso, conhecemos k = 2000, Nm, mas a massa m não foi fornecida. Então, deixaremos omega em termos de m:
omega = raiz2000m

Passo 5

A amplitude ( A) é a máxima distensão que a mola sofre, que é de 1 cm ou 0.01 m. Então, nossa equação até agora fica:
x(t) = 0.01 cos(omega t + phi)

Passo 6

Para encontrar a constante de fase ( phi), vamos analisar as condições iniciais. No início, o objeto é puxado e liberado a partir do repouso, então:
  • No instante t = 0, a posição x(0) = 0.01,m,
  • E a velocidade inicial v(0) = 0,m/s.
Substituindo t = 0 na equação de posição:
0.01 = 0.01 cos(phi)
Dividindo ambos os lados por 0.01:
1 = cos(phi)
Isso acontece quando phi = 0. Então, a constante de fase é zero.

Passo 7

Agora que temos phi = 0, nossa equação de posição fica:
x(t) = 0.01 cos(omega t)
Para achar a velocidade ( v(t)), derivamos x(t) em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = -0.01 omega sin(omega t)
E para a aceleração ( a(t)), derivamos v(t):
a(t) = dvdt = -0.01 omega^2 cos(omega t)

Resposta

As expressões para a posição, velocidade e aceleração do objeto são:
x(t) = 0.01 cos(raiz2000m, t,)
v(t) = -0.01 raiz2000m sin(raiz2000m, t,)
a(t) = -0.01 (2000m) cos(raiz2000m, t,)
A constante de fase phi foi encontrada como zero, pois as condições iniciais indicaram que o objeto foi liberado a partir da máxima distensão com velocidade inicial nula.

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