Um objeto repousa sobre o tampo de uma mesa, conectado a uma extremidade de uma mola horizontal cuja outra extremidade é fixa em uma parede. O objeto é puxado para a direita (no sentido do eixo x positivo) por uma força aplicada externamente de módulo 20 N , fazendo com que a mola se distenda em 1 cm .
Estabeleça expressǒes para
e
; Indique claramente como obteve o valor da constante de fase.
Estabeleça expressǒes para
Passo 1
Beleza, vamos lá! No enunciado, temos um objeto parado sobre uma mesa, conectado a uma mola que está fixa na parede. Quando puxamos esse objeto com uma força de 20 N para a direita, a mola se estica 1 cm. A gente vai usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) para descobrir as expressões de posição
, velocidade
e aceleração
do objeto ao longo do tempo. Também vamos ver como determinar a constante de fase nessa situação.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir a constante elástica da mola, que chamamos de
. A relação entre a força (
) aplicada e a deformação (
) da mola é dada por:
Aqui,
e
. Então, rearranjando a fórmula para encontrar
:
Então, a constante da mola é
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no Movimento Harmônico Simples. A equação geral para a posição em MHS é:
Onde:
-
é a amplitude (a máxima distância que o objeto atinge a partir da posição de equilíbrio), -
é a frequência angular, e -
é a constante de fase.
Precisamos determinar esses valores para nosso caso.
Passo 4
A frequência angular (
) está relacionada à constante da mola (
) e à massa do objeto (
) pela fórmula:
No nosso caso, conhecemos
, mas a massa
não foi fornecida. Então, deixaremos
em termos de
:
Passo 5
A amplitude (
) é a máxima distensão que a mola sofre, que é de 1 cm ou 0.01 m. Então, nossa equação até agora fica:
Passo 6
Para encontrar a constante de fase (
), vamos analisar as condições iniciais. No início, o objeto é puxado e liberado a partir do repouso, então:
- No instante
, a posição , - E a velocidade inicial
.
Substituindo
na equação de posição:
Dividindo ambos os lados por 0.01:
Isso acontece quando
. Então, a constante de fase é zero.
Passo 7
Agora que temos
, nossa equação de posição fica:
Para achar a velocidade (
), derivamos
em relação ao tempo:
E para a aceleração (
), derivamos
:
Resposta
As expressões para a posição, velocidade e aceleração do objeto são:
A constante de fase
foi encontrada como zero, pois as condições iniciais indicaram que o objeto foi liberado a partir da máxima distensão com velocidade inicial nula.