y^prime prime prime-4 y^prime=12 sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 4y' = 12 sin 2x
O conteúdo é método de resolução de EDOs lineares: primeiro obtemos a solução geral da homogênea pela equação característica, depois buscamos uma solução particular pelo método dos coeficientes não determinados, e por fim somamos as duas.

Passo 2

Resolvemos a equação característica associada à parte homogênea y''' - 4y' = 0. Substituindo y=e^rx obtemos
r^3 - 4r = r,(r^2 - 4) = r,(r - 2),(r + 2) = 0
As raízes são r=0, r=2 e r=-2. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 + C2 e^2x + C3 e^-2x

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é 12sin 2x, tentamos uma solução particular da forma
yp = Asin 2x + Bcos 2x
Calculamos suas derivadas:
yp' = 2Acos 2x - 2Bsin 2x,
yp'' = -4Asin 2x -4Bcos 2x,
yp''' = -8Acos 2x +8Bsin 2x

Passo 4

Substituindo em y''' - 4y' obtemos
yp''' - 4yp' = (-8Acos 2x +8Bsin 2x) -4(2Acos 2x -2Bsin 2x) = -16Acos 2x +16Bsin 2x
Esse resultado deve ser igual a 12sin 2x. Igualando coeficientes em sin 2x e cos 2x:
-16A = 0 Rightarrow A=0,
16B = 12 Rightarrow B=tfrac34
Logo
yp = tfrac34cos 2x

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 + C2 e^2x + C3 e^-2x + tfrac34cos 2x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^2x + C3 e^-2x + tfrac34cos 2x

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