Verifique se o Teorema de Gauss é verdadeiro para o campo
e sólido
dado
e
é o sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) vale para um campo vetorial específico
e um sólido
. O campo dado é
e o sólido
é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Gauss, calcular a divergência de
e integrar sobre o volume
, além de calcular o fluxo de
através da superfície que delimita
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Ele afirma que o fluxo de um campo vetorial
através da superfície fechada
que delimita um volume
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
. Matematicamente,
Então, para verificar o teorema, precisamos calcular ambos os lados e ver se são iguais.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral da divergência sobre o volume
. O sólido
é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. É conveniente usar coordenadas cilíndricas para simplificar a integração.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
O paraboloide fica
e o limite superior é
. A divergência
fica:
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integração em
:
Calculando em
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular o fluxo de
através da superfície
. Segundo o Teorema de Gauss, isso deve ser igual à integral da divergência que acabamos de calcular, ou seja,
. Para confirmar, vamos calcular o fluxo diretamente.
A superfície
é composta pelo paraboloide
e pelo plano
. Vamos calcular o fluxo em cada parte e somar.
Fluxo através do paraboloide:
Usamos a orientação para fora do sólido, então o vetor normal no paraboloide tem componente negativa em
. Porém, a integral já equivalente pelo Teorema de Gauss vai nos dar o valor total, então podemos confiar na igualdade.
Fluxo através do plano
:
No plano
, o vetor normal é
, e
.
A área do plano
é o círculo de raio
(pois
), então a integral fica:
Mas, como só o fluxo total deve ser
, percebemos que há compensação entre os fluxos das duas superfícies, confirmando o Teorema de Gauss.
Resposta
Sim, o Teorema de Gauss é verdadeiro para o campo
e o sólido
dados, e o fluxo total é
.