Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
Aqui o “truque” é usar a transformação
e encontrar as raízes da equação característica, depois montar a solução geral como combinação linear de exponenciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica substituindo
por
:
Fatoramos em seguida um
em evidência:
Isso já nos dá uma raiz imediata
.
Passo 3
Agora resolvemos o polinômio cúbico
Testamos raízes racionais entre os divisores de
, isto é
. Avaliando em
:
logo
é raiz. Dividindo o cúbico por
(por exemplo via divisão sintética) obtemos o fator quadrático
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
As raízes da característica são, portanto,
Para cada raiz
a solução fundamental é
. A solução geral é combinação linear dessas:
isto é
onde
são constantes arbitrárias.