(D^4-D^3-7 D^2+3 D) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
l(D^4-D^3-7D^2+3Dr)y=0
Aqui o “truque” é usar a transformação Dmapsto r e encontrar as raízes da equação característica, depois montar a solução geral como combinação linear de exponenciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo D por r:
r^4-r^3-7r^2+3r=0
Fatoramos em seguida um r em evidência:
r,(r^3-r^2-7r+3)=0
Isso já nos dá uma raiz imediata r=0.

Passo 3

Agora resolvemos o polinômio cúbico
r^3-r^2-7r+3=0
Testamos raízes racionais entre os divisores de 3, isto é pm1,pm3. Avaliando em r=3:
3^3-3^2-7cdot3+3=27-9-21+3=0,
logo r=3 é raiz. Dividindo o cúbico por (r-3) (por exemplo via divisão sintética) obtemos o fator quadrático
r^2+2r-1=0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
r^2+2r-1=0
usando a fórmula de Bhaskara:
r=-2pmraiz2^2-4cdot1cdot(-1)2 =-2pmraiz82 =-1pmraiz2

Passo 5

As raízes da característica são, portanto,
r1=0, r2=3, r3=-1+raiz2, r4=-1-raiz2
Para cada raiz ri a solução fundamental é e^rix. A solução geral é combinação linear dessas:
y(x)=C1e^0cdot x+C2e^3x+C3e^(-1+raiz2)x+C4e^(-1-raiz2)x,
isto é
y(x)=C1+C2e^3x+C3e^(-1+raiz2)x+C4e^(-1-raiz2)x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1+C2e^3x+C3e^(-1+raiz2)x+C4e^(-1-raiz2)x

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