integral-infty^2 2 d xx^2+4

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
integral-infty^2 2x^2+4,dx
O conteúdo envolve integração de funções racionais usando a primitiva de integraldxx^2+a^2 e o tratamento de limites em integrais impróprias com intervalo não limitado.

Passo 2

Escrevemos a integral imprópria como um limite finito:
integral-infty^2 2x^2+4,dx = limAto-inftyintegralA^2 2x^2+4,dx
A função 2x^2+4 é contínua em R, então só precisamos cuidar do limite quando Ato -infty.

Passo 3

Para achar a primitiva usamos o fato de que
integral dxx^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracxar) + C
Aqui a^2=4implies a=2, e multiplicando por 2:
integral 2x^2+4,dx = 2cdot12arctan!l(tfracx2r) + C = arctan!l(tfracx2r) + C

Passo 4

Avaliamo a integral definida:
integralA^2 2x^2+4,dx = l[arctan!l(tfracx2r)r]x=A^x=2 = arctan(1) - arctan!l(tfracA2r)
Como arctan(1)=tfracpi4 e limAto-inftyarctan!l(tfracA2r)=-tfracpi2, temos:

Passo 5

limAto-inftyl(tfracpi4 - arctan!l(tfracA2r)r) = tfracpi4 - l(-tfracpi2r) = tfracpi4 + tfracpi2 = tfrac3pi4

Resposta

3pi4

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