Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensão 3:
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0
f(x, y, z)=e^3 x+4 y cos (5 z).

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Matemática que envolve a Equação de Laplace em três dimensões. A equação de Laplace é dada por:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 0
Queremos verificar se a função f(x, y, z) = e^3x + 4y cos(5z) satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f em relação a x , y e z , e depois somá-las para ver se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de f em relação a x .
A função f(x, y, z) = e^3x + 4y cos(5z) pode ser vista como f = e^3x cdot e^4y cdot cos(5z) . Ao derivar em relação a x , tratamos y e z como constantes.
A primeira derivada de f em relação a x é:
partial fpartial x = 3 e^3x + 4y cos(5z)
Agora, a segunda derivada de f em relação a x é:
partial^2 fpartial x^2 = 9 e^3x + 4y cos(5z)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de f em relação a y .
Seguindo o mesmo raciocínio, derivamos f em relação a y :
A primeira derivada de f em relação a y é:
partial fpartial y = 4 e^3x + 4y cos(5z)
A segunda derivada de f em relação a y é:
partial^2 fpartial y^2 = 16 e^3x + 4y cos(5z)

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de f em relação a z .
A primeira derivada de f em relação a z é:
partial fpartial z = -5 e^3x + 4y sin(5z)
A segunda derivada de f em relação a z é:
partial^2 fpartial z^2 = -25 e^3x + 4y cos(5z)

Passo 5

Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2 = 9 e^3x + 4y cos(5z) + 16 e^3x + 4y cos(5z) - 25 e^3x + 4y cos(5z)
Simplificando:
(9 + 16 - 25) e^3x + 4y cos(5z) = 0

Resposta

Como a soma das derivadas é igual a zero, a função f(x, y, z) = e^3x + 4y cos(5z) satisfaz a equação de Laplace em três dimensões.

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