Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensão 3:
.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Matemática que envolve a Equação de Laplace em três dimensões. A equação de Laplace é dada por:
Queremos verificar se a função
satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
,
e
, e depois somá-las para ver se o resultado é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
A função
pode ser vista como
. Ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Seguindo o mesmo raciocínio, derivamos
em relação a
:
A primeira derivada de
em relação a
é:
A segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
A primeira derivada de
em relação a
é:
A segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somá-las de acordo com a equação de Laplace:
Simplificando:
Resposta
Como a soma das derivadas é igual a zero, a função
satisfaz a equação de Laplace em três dimensões.