lim x infty(1+2x)^4 x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando x vai para o infinito da expressão (1 + 2x)^4x . Isso pertence ao estudo de limites em cálculo, especificamente quando lidamos com expressões que envolvem potências e frações que se aproximam de zero. Para resolver isso, vamos usar a definição do número e e algumas propriedades de limites e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e pode ser definido como o limite limn to infty (1 + 1n)^n . Nossa expressão parece semelhante a essa definição, então a gente pode tentar manipular para chegar nessa forma.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão original para facilitar:
(1 + 2x)^4x = ((1 + 2x)^x2)^8
Aqui, a gente ajustou os expoentes para ficar em termos da definição do e .

Passo 4

Agora, analisando a parte interna:
limx to infty (1 + 2x)^x2 = e^1
Porque 2x se aproxima de zero conforme x vai para o infinito, e a expressão se ajusta à definição do e .

Passo 5

Então, voltando à nossa expressão original:
(e^1)^8 = e^8

Resposta

O limite é e^8 .

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