Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite quando
se aproxima de 3 na expressão
. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo de Limites, especialmente sobre limites que envolvem funções trigonométricas e formas indeterminadas. Precisaremos entender como lidar com a forma
e aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por 3 na expressão para ver o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, que significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Quando encontramos uma forma indeterminada, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que ajuda a resolver esses casos.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeiro, vamos derivar o numerador
em relação a
:
Agora, derivamos o denominador
em relação a
:
Passo 4
Agora, reescrevemos o limite usando as derivadas que calculamos:
Substituímos
por 3 na nova expressão:
Resposta
O limite é igual a 1.