lim x 3 (x-3)sen(x-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite quando x se aproxima de 3 na expressão (x-3)sin(x-3) . Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo de Limites, especialmente sobre limites que envolvem funções trigonométricas e formas indeterminadas. Precisaremos entender como lidar com a forma 00 e aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x por 3 na expressão para ver o que acontece:
(3-3)sin(3-3) = 0sin(0) = 00
Isso nos dá uma forma indeterminada 00 , que significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Quando encontramos uma forma indeterminada, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que ajuda a resolver esses casos.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma 00 ou inftyinfty , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas. Vamos aplicar isso:
Primeiro, vamos derivar o numerador (x - 3) em relação a x :
ddx(x - 3) = 1
Agora, derivamos o denominador sin(x - 3) em relação a x :
ddx sin(x - 3) = cos(x - 3)

Passo 4

Agora, reescrevemos o limite usando as derivadas que calculamos:
limx 3 1cos(x - 3)
Substituímos x por 3 na nova expressão:
1cos(3 - 3) = 1cos(0) = 11 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados