(2.0) Obtenha a série de Maclaurin de
f(x)=1(1-x)^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de encontrar a série de Maclaurin para a função f(x) = 1(1 - x)^4 . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências, especificamente séries de Maclaurin, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin de 11 - x e ver como podemos adaptar para o expoente 4.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin da função mais simples nessa família: 11 - x . Sabemos que:
11 - x = sumn=0^infty x^n
Isso vale para |x| < 1 . Essa é a base que vamos usar para construir a série de 1(1 - x)^4 .

Passo 3

Agora, para encontrar a série de 1(1 - x)^4 , podemos usar uma propriedade das séries de potências que envolve derivação. Sabemos que derivar a série de 11 - x nos dá outras séries relacionadas. Então, vamos derivar a série original três vezes para chegar ao expoente 4.

Passo 4

Primeira derivada de 11 - x :
ddx(11 - x) = 1(1 - x)^2
E derivando a série:
ddx(sumn=0^infty x^n) = sumn=1^infty n x^n-1

Passo 5

Segunda derivada:
d^2dx^2(11 - x) = 2(1 - x)^3
E derivando a série novamente:
ddx(sumn=1^infty n x^n-1) = sumn=1^infty n(n-1) x^n-2

Passo 6

Terceira derivada:
d^3dx^3(11 - x) = 6(1 - x)^4
E derivando a série mais uma vez:
ddx(sumn=1^infty n(n-1) x^n-2) = sumn=1^infty n(n-1)(n-2) x^n-3

Passo 7

Agora, comparando as duas expressões da terceira derivada, temos:
6(1 - x)^4 = sumn=1^infty n(n-1)(n-2) x^n-3
Para igualar isso à nossa função 1(1 - x)^4 , dividimos ambos os lados por 6:
1(1 - x)^4 = 16 sumn=1^infty n(n-1)(n-2) x^n-3

Passo 8

Vamos ajustar os índices para simplificar. Seja m = n - 3 , então n = m + 3 . Substituindo na série:
1(1 - x)^4 = 16 summ= -2^infty (m+3)(m+2)(m+1) x^m
Como termos com m < 0 não contribuem, podemos iniciar a soma a partir de m=0 :
1(1 - x)^4 = 16 summ=0^infty (m+3)(m+2)(m+1) x^m

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
(m+3)(m+2)(m+1) = (m+1)(m+2)(m+3) = (m+3)!m!
Portanto:
1(1 - x)^4 = summ=0^infty (m+3)(m+2)(m+1)6 x^m
Ou seja:
1(1 - x)^4 = sumn=0^infty (n+3)(n+2)(n+1)6 x^n

Resposta

A série de Maclaurin de 1(1 - x)^4 é então:
1(1 - x)^4 = sumn=0^infty (n+3)(n+2)(n+1)6 x^n, |x| < 1

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