(2.0) Obtenha a série de Maclaurin de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o exercício de encontrar a série de Maclaurin para a função
. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências, especificamente séries de Maclaurin, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin de
e ver como podemos adaptar para o expoente 4.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin da função mais simples nessa família:
. Sabemos que:
Isso vale para
. Essa é a base que vamos usar para construir a série de
.
Passo 3
Agora, para encontrar a série de
, podemos usar uma propriedade das séries de potências que envolve derivação. Sabemos que derivar a série de
nos dá outras séries relacionadas. Então, vamos derivar a série original três vezes para chegar ao expoente 4.
Passo 4
Primeira derivada de
:
E derivando a série:
Passo 5
Segunda derivada:
E derivando a série novamente:
Passo 6
Terceira derivada:
E derivando a série mais uma vez:
Passo 7
Agora, comparando as duas expressões da terceira derivada, temos:
Para igualar isso à nossa função
, dividimos ambos os lados por 6:
Passo 8
Vamos ajustar os índices para simplificar. Seja
, então
. Substituindo na série:
Como termos com
não contribuem, podemos iniciar a soma a partir de
:
Passo 9
Simplificando os coeficientes:
Portanto:
Ou seja:
Resposta
A série de Maclaurin de
é então: