$
& x^2+y^2+z-x y=5 ponto (-1,1, z) & z=f(x, y)=-x^2-y^2+x y+5 Rightarrow f(-1,1)=-1-1-1+5=2 & partial fpartial x=-2 x+y partial fpartial x(-1,1)=3, partial fpartial y=-2 y+x partial fpartial y(-1,1)=-3
$

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida implicitamente por
x^2+y^2+z - x y = 5
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto (-1,1,z). Para isso, vamos tratar a variável z como função de x e y, z=f(x,y), usar derivadas parciais e depois aplicar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Isolamos z para escrever
z = f(x,y) = -x^2 - y^2 + x y + 5

Passo 3

Calculamos o valor de f no ponto (x0,y0)=(-1,1):
f(-1,1)= -(-1)^2 - (1)^2 + (-1)cdot1 +5 = -1 -1 -1 +5 = 2
Logo o ponto na superfície é (-1,1,2).

Passo 4

Encontramos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = -2x + y, partial fpartial y = -2y + x
Avaliando em (-1,1):
partial fpartial x(-1,1) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3, partial fpartial y(-1,1) = -2(1) + (-1) = -2 - 1 = -3

Passo 5

A fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=-1, y0=1, z0=2, fx=3 e fy=-3, obtemos
z - 2 = 3,(x + 1) ;+; (-3),(y - 1)
Para deixar em forma explícita:
z - 2 = 3x + 3 -3y +3 Longrightarrow z = 3x -3y +8

Resposta

z = 3x - 3y + 8 é a equação do plano tangente.

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