Seja S a parte da superfície cilíndrica z^2+x^2=1 que se encontra dentro do cone z=raizx^2+y^2, z >= 0.
Calcule integral duplaS raiz1-x^2 d S.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície cilíndrica definida pela equação z^2 + x^2 = 1 e queremos considerar apenas a parte dessa superfície que está dentro do cone definido por z = raizx^2 + y^2 com z >= 0 . O objetivo é calcular a integral de superfície integral duplaS raiz1 - x^2 , dS .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração em superfícies. Vamos precisar parametrizar a superfície cilíndrica, determinar os limites de integração com base na interseção com o cone e calcular o elemento de área dS para configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria das superfícies envolvidas. A superfície cilíndrica z^2 + x^2 = 1 é um cilindro circular com raio 1, estendendo-se ao longo do eixo y . O cone z = raizx^2 + y^2 é um cone de abertura 45 graus que se abre para cima.
Para encontrar a parte do cilindro que está dentro do cone, vamos encontrar a curva de interseção entre as duas superfícies. Igualando as equações:
z = raizx^2 + y^2
z^2 + x^2 = 1
Substituindo z na segunda equação:
(raizx^2 + y^2)^2 + x^2 = 1
x^2 + y^2 + x^2 = 1
2x^2 + y^2 = 1
Essa é a equação da curva de interseção. Agora, vamos parametrizar a superfície cilíndrica.

Passo 3

Para parametrizar o cilindro z^2 + x^2 = 1 , é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
x = cos theta
y = r sin theta
z = sin theta
Onde theta varia de 0 a 2pi e r é a coordenada radial no plano y - z .
No entanto, como o cilindro não depende de y , podemos simplificar a parametrização. Vamos fixar y e parametrizar em termos de theta :
x = cos theta
y = y
z = sin theta
Aqui, theta varia de 0 a 2pi e y varia dentro dos limites determinados pela interseção com o cone.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração. A curva de interseção 2x^2 + y^2 = 1 nos dá os limites para y .
Resolvendo para y :
y^2 = 1 - 2x^2
y = pm raiz1 - 2x^2
Como x = cos theta , substituímos:
y = pm raiz1 - 2cos^2 theta
Isso nos dá os limites para y em termos de theta .

Passo 5

Agora, vamos calcular o elemento de área dS na parametrização escolhida. Para uma superfície parametrizada por theta e y :
dS = raiz( partial rpartial theta )^2 + ( partial rpartial y )^2 , dtheta , dy
Onde r(theta, y) = (cos theta, y, sin theta) .
Calculando as derivadas parciais:
partial rpartial theta = (-sin theta, 0, cos theta)
partial rpartial y = (0, 1, 0)
Então,
dS = raiz(-sin theta)^2 + (0)^2 + (cos theta)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (0)^2
dS = raizsin^2 theta + cos^2 theta + 1
dS = raiz1 + 1
dS = raiz2

Passo 6

Com o elemento de área encontrado, podemos agora configurar a integral de superfície. A integral fica:
integral duplaS raiz1 - x^2 , dS = integral0^2pi integral-raiz1 - 2cos^2 theta^raiz1 - 2cos^2 theta raiz1 - cos^2 theta cdot raiz2 , dy , dtheta
Simplificando raiz1 - cos^2 theta :
raiz1 - cos^2 theta = sin theta
Então, a integral fica:
raiz2 integral0^2pi sin theta cdot ( 2raiz1 - 2cos^2 theta ) dtheta
2raiz2 integral0^2pi sin theta raiz1 - 2cos^2 theta , dtheta

Passo 7

Para resolver a integral, podemos usar substituição trigonométrica ou reconhecer a simetria da função. Observando que a função sin theta é uma função ímpar e a raiz envolve termos pares, a integral ao longo de um período completo de 0 a 2pi será zero devido à simetria.

Resposta

A integral integral duplaS raiz1 - x^2 , dS é igual a zero.

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