Seja
a parte da superfície cilíndrica
que se encontra dentro do cone
,
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície cilíndrica definida pela equação
e queremos considerar apenas a parte dessa superfície que está dentro do cone definido por
com
. O objetivo é calcular a integral de superfície
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração em superfícies. Vamos precisar parametrizar a superfície cilíndrica, determinar os limites de integração com base na interseção com o cone e calcular o elemento de área
para configurar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria das superfícies envolvidas. A superfície cilíndrica
é um cilindro circular com raio 1, estendendo-se ao longo do eixo
. O cone
é um cone de abertura 45 graus que se abre para cima.
Para encontrar a parte do cilindro que está dentro do cone, vamos encontrar a curva de interseção entre as duas superfícies. Igualando as equações:
Substituindo
na segunda equação:
Essa é a equação da curva de interseção. Agora, vamos parametrizar a superfície cilíndrica.
Passo 3
Para parametrizar o cilindro
, é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
Onde
varia de 0 a
e
é a coordenada radial no plano
-
.
No entanto, como o cilindro não depende de
, podemos simplificar a parametrização. Vamos fixar
e parametrizar em termos de
:
Aqui,
varia de 0 a
e
varia dentro dos limites determinados pela interseção com o cone.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. A curva de interseção
nos dá os limites para
.
Resolvendo para
:
Como
, substituímos:
Isso nos dá os limites para
em termos de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o elemento de área
na parametrização escolhida. Para uma superfície parametrizada por
e
:
Onde
.
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 6
Com o elemento de área encontrado, podemos agora configurar a integral de superfície. A integral fica:
Simplificando
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Para resolver a integral, podemos usar substituição trigonométrica ou reconhecer a simetria da função. Observando que a função
é uma função ímpar e a raiz envolve termos pares, a integral ao longo de um período completo de
a
será zero devido à simetria.
Resposta
A integral
é igual a zero.