3a Questão (Valor: 2,5): A peça é formada por 3 barras horizontais de igual comprimento soldadas a barras verticais muito rígidas. No momento em que o conjunto é montado, a temperatura é de 20^circ C e as barras horizontais estão descarregadas. Qual a força normal na barra 2 quando a peça estiver a temperatura de 50^circ C? As barras 1 e 3 têm área transversal 100 mm^2, módulo de elasticidade 70 GPa e coeficiente de dilatação térmica $25
\cdot 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} \mathrm{e} 25 cdot 10^-6 ^circ C^-1 eêá20 \mathrm{~mm}^{2} 20 mm^2óçãé20 \cdot 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

Ok, vamos lá! Você tem um exercício que envolve barras metálicas que sofrem variações de temperatura. A questão fala sobre termometria e mecânica dos materiais, especificamente sobre dilatação térmica e como ela gera forças internas quando as barras são restritas. Vamos precisar usar as fórmulas de dilatação térmica e de força de elasticidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a dilatação térmica. Quando a temperatura de um material aumenta, ele tende a se expandir. A mudança no comprimento ( De<a L) pode ser calculada pela fórmula:
De<a L = alpha cdot L cdot De<a T
Onde:
  • alpha é o coeficiente de dilatação térmica,
  • L é o comprimento original,
  • De<a T é a variação de temperatura.
No nosso caso, como as barras estão presas nas barras verticais rígidas, elas não podem expandir. Isso cria uma força interna devido à restrição da dilatação.

Passo 3

Vamos calcular a variação de temperatura:
De<a T = Tfinal - Tinicial = 50^circ C - 20^circ C = 30^circ C

Passo 4

Agora, vamos considerar que todas as barras têm o mesmo comprimento original L. Quando a temperatura aumenta, cada barra quer se expandir, mas está restrita pelas barras verticais. Isso gera uma força de tração ou compressão nas barras horizontais.

Passo 5

A força gerada pela restrição da dilatação térmica pode ser calculada pela fórmula:
F = A cdot E cdot alpha cdot De<a TL
Onde:
  • A é a área da seção transversal,
  • E é o módulo de elasticidade,
  • alpha é o coeficiente de dilatação térmica,
  • De<a T é a variação de temperatura,
  • L é o comprimento original.

Passo 6

Vamos calcular as forças para as barras 1, 2 e 3. Sabemos que:
  • Barras 1 e 3:
    • A = 100 , mm^2
    • E = 70 , GPa = 70 times 10^9 , Pa
    • alpha = 25 times 10^-6 , ^circ C^-1
  • Barra 2:
    • A = 20 , mm^2
    • E = 20 , GPa = 20 times 10^9 , Pa
    • alpha = 20 times 10^-6 , ^circ C^-1

Passo 7

Vamos converter as áreas para metros quadrados:
100 , mm^2 = 100 times 10^-6 , m^2
20 , mm^2 = 20 times 10^-6 , m^2

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da força para cada barra:
Para as barras 1 e 3:
F1,3 = 100 times 10^-6 cdot 70 times 10^9 cdot 25 times 10^-6 cdot 30L
Para a barra 2:
F2 = 20 times 10^-6 cdot 20 times 10^9 cdot 20 times 10^-6 cdot 30L

Passo 9

Perceba que L é comum e, para encontrar a força normal na barra 2, precisamos considerar o equilíbrio das forças. Como as barras 1 e 3 estão simetricamente posicionadas, suas forças se somam e equilibram a força na barra 2.
2F1,3 = F2

Passo 10

Vamos calcular F1,3:
F1,3 = 100 times 10^-6 cdot 70 times 10^9 cdot 25 times 10^-6 cdot 30L
F1,3 = 100 times 70 times 25 times 30 times 10^-6 times 10^9 times 10^-6L
F1,3 = 525000 times 10^-3L = 525 , NL

Passo 11

Agora, aplicando o equilíbrio das forças:
2 cdot 525 = F2
F2 = 1050 , N

Resposta

A força normal na barra 2 quando a peça estiver a 50 °C é de 1050 N.

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