integral(1+x1-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1+x1-x,dx
O conteúdo necessário envolve manipular a fração racional para decompor o integrando em termos mais simples e depois aplicar regras básicas de integração de funções constantes e de logaritmo.

Passo 2

Para simplificar o integrando, fazemos divisão algébrica. Observamos que
1+x1-x = -1 + 21-x
Para ver isso, note que
-1 + 21-x = -(1-x) + 21-x = -1 + x + 21-x = x+11-x

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral 1+x1-x,dx = integrall(-1 + 21-xr)dx = integral (-1),dx + 2integral 11-x,dx
Sabendo que integral(-1),dx = -x e que
integral 11-x,dx = -lnl|1-xr|,
temos
integral 1+x1-x,dx = -x + 2l(-lnlvert1-xrvertr) + C = -x - 2lnl|1-xr| + C

Resposta

-,x ;-; 2,lnlvert1-xrvert ;+; C

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