Calcule a derivada das seguintes funções (simplifique):
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada da função $ f(x) = (x - 3) \cdot (2x + 3)^{-2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que serve quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, e também a Regra da Cadeia, que é útil para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes que compõem o produto na função $ f(x) $:
- $ u(x) = x - 3 $
- $ v(x) = (2x + 3)^{-2} $
Passo 3
A Regra do Produto diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $. Vamos aplicar isso aqui.
Passo 4
Vamos derivar cada parte separadamente:
- Derivada de $ u(x) $:
- Derivada de $ v(x) $ usando a Regra da Cadeia:
Primeiro, reconhecemos que $ v(x) = (2x + 3)^{-2} $ é uma função composta. Então,
Então,
Passo 5
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar $ (2x + 3)^{-3} $:
Passo 7
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 8
Substituindo de volta:
Ou, se preferir:
Resposta
A derivada da função é: