Calcule a derivada das seguintes funções (simplifique):
f(x)=(x-3) cdot(2 x+3)^-2.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função $ f(x) = (x - 3) \cdot (2x + 3)^{-2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que serve quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, e também a Regra da Cadeia, que é útil para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que compõem o produto na função $ f(x) $:
  • $ u(x) = x - 3 $
  • $ v(x) = (2x + 3)^{-2} $

Passo 3

A Regra do Produto diz que a derivada de $ u(x) \cdot v(x) $ é $ u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) $. Vamos aplicar isso aqui.

Passo 4

Vamos derivar cada parte separadamente:
  1. Derivada de $ u(x) $:
u(x)
  1. Derivada de $ v(x) $ usando a Regra da Cadeia:
    Primeiro, reconhecemos que $ v(x) = (2x + 3)^{-2} $ é uma função composta. Então,
u'(x) = ddx(x - 3) = 1
v(x)
Então,
v(x) = (2x + 3)^-2

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
f'(x) = 1 cdot (2x + 3)^-2 + (x - 3) cdot (-4)(2x + 3)^-3

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
f'(x) = (2x + 3)^-2 - 4(x - 3)(2x + 3)^-3
Podemos fatorar $ (2x + 3)^{-3} $:
(2x + 3)^-3

Passo 7

Simplificando dentro dos colchetes:
(2x + 3) - 4(x - 3) = 2x + 3 - 4x + 12 = -2x + 15

Passo 8

Substituindo de volta:
f'(x) = (2x + 3)^-3 cdot (-2x + 15)
Ou, se preferir:
f'(x) = -2x + 15(2x + 3)^3

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -2x + 15(2x + 3)^3

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