Passo 1

A questão pede para calcular a soma da série infinita sumn=1^inftyl(e^1/n-e^1/(n+1)r). O conteúdo envolvido é séries telescópicas, e vamos usar a propriedade de cancelamento de termos em somas parciais para resolver.

Passo 2

Vamos escrever a soma parcial até um índice N:
SN=sumn=1^Nl(e^1/n-e^1/(n+1)r)
Note que ao expandir os primeiros termos, temos:
SN=(e^1/1-e^1/2)+(e^1/2-e^1/3)+(e^1/3-e^1/4)+cdots+(e^1/N-e^1/(N+1))
Observando essa soma, percebemos que todos os termos intermediários se cancelam dois a dois, sobrando apenas:
SN=e^1-e^1/(N+1)

Passo 3

Para obter a soma da série original, tomamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN=limNtoinftyl(e^1-e^1/(N+1)r)=e- e^0=e-1

Resposta

e-1

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