Resolva: y=y(x)
y^prime prime+2 y^prime+y=3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 3x
Conteúdo: EDO linear não-homogênea; vamos precisar da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da homogênea associada
y'' + 2y' + y = 0
Montamos a equação característica
r^2 + 2r + 1 = 0
que tem delta zero e raiz dupla
r = -1
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular por coeficientes a determinar. Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1, propomos
yp(x) = A x + B
Calculamos as derivadas
yp'(x) = A, yp''(x) = 0

Passo 4

Substituímos em
y'' + 2y' + y = 3x
e obtemos
0 + 2A + (Ax + B) = 3x
Ou seja
Ax + (2A + B) = 3x + 0
Comparando coeficientes:
A = 3, 2A + B = 0 implies B = -6

Passo 5

Montamos a solução particular
yp(x) = 3x - 6
E a solução geral é a soma
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x + 3x - 6

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x + 3x - 6

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