Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, $ D $ representa a derivada em relação a $ x $ (ou seja, $ D = \frac{d}{dx} $). Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e fatoração de operadores diferenciais para resolver isso. Precisaremos encontrar as soluções gerais associadas a cada fator do operador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada fator do operador corresponde a uma parte da solução. Vamos começar encontrando as raízes características de cada fator. Para isso, substituímos $ D $ por $ r $ (onde $ r $ é uma constante) e igualamos a zero:
Agora, resolvemos cada parte:
- $ r = 0 $
- $ r^{2} - 1 = 0 $
$ r = 1 $ e $ r = -1 $ - $ (r + 2)^{3} = 0 $
$ r = -2 $ com multiplicidade 3 - $ r^{2} + 3 = 0 $
$ r = \pm i\sqrt{3} $
Essas são as raízes da equação característica.
Passo 3
Agora que temos as raízes, vamos associar cada uma a uma solução da equação diferencial:
-
Raiz $ r = 0 $:
A solução é uma constante: $ y_1 = C_1 $ -
Raízes $ r = 1 $ e $ r = -1 $:
Cada raiz real simples gera soluções exponenciais:
$ y_2 = C_2 e^{x} $
$ y_3 = C_3 e^{-x} $ -
Raiz $ r = -2 $ com multiplicidade 3:
Para raízes repetidas, multiplicamos por potências de $ x $ até a quantidade da multiplicidade:
$ y_4 = C_4 e^{-2x} $
$ y_5 = C_5 x e^{-2x} $
$ y_6 = C_6 x^{2} e^{-2x} $ -
Raízes complexas $ r = \pm i\sqrt{3} $:
Soluções envolvendo funções trigonométricas:
$ y_7 = C_7 \cos(\sqrt{3}x) $
$ y_8 = C_8 \sin(\sqrt{3}x) $
Passo 4
Finalmente, juntamos todas as soluções encontradas para formar a solução geral da equação diferencial:
Aqui, $ C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7 $ e $ C_8 $ são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se houver condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: