Resolva: y=y(x)
D(D^2-1)(D+2)^3(D^2+3) y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
D(D^2-1)(D+2)^3(D^2+3) y = 0
Aqui, $ D $ representa a derivada em relação a $ x $ (ou seja, $ D = \frac{d}{dx} $). Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e fatoração de operadores diferenciais para resolver isso. Precisaremos encontrar as soluções gerais associadas a cada fator do operador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada fator do operador corresponde a uma parte da solução. Vamos começar encontrando as raízes características de cada fator. Para isso, substituímos $ D $ por $ r $ (onde $ r $ é uma constante) e igualamos a zero:
D
Agora, resolvemos cada parte:
  1. $ r = 0 $
  2. $ r^{2} - 1 = 0 $ r $ r = 1 $ e $ r = -1 $
  3. $ (r + 2)^{3} = 0 $ r $ r = -2 $ com multiplicidade 3
  4. $ r^{2} + 3 = 0 $ r(r^2 - 1)(r + 2)^3(r^2 + 3) = 0 $ r = \pm i\sqrt{3} $
Essas são as raízes da equação característica.

Passo 3

Agora que temos as raízes, vamos associar cada uma a uma solução da equação diferencial:
  1. Raiz $ r = 0 $:
    A solução é uma constante: $ y_1 = C_1 $
  2. Raízes $ r = 1 $ e $ r = -1 $:
    Cada raiz real simples gera soluções exponenciais:
    $ y_2 = C_2 e^{x} $
    $ y_3 = C_3 e^{-x} $
  3. Raiz $ r = -2 $ com multiplicidade 3:
    Para raízes repetidas, multiplicamos por potências de $ x $ até a quantidade da multiplicidade:
    $ y_4 = C_4 e^{-2x} $
    $ y_5 = C_5 x e^{-2x} $
    $ y_6 = C_6 x^{2} e^{-2x} $
  4. Raízes complexas $ r = \pm i\sqrt{3} $:
    Soluções envolvendo funções trigonométricas:
    $ y_7 = C_7 \cos(\sqrt{3}x) $
    $ y_8 = C_8 \sin(\sqrt{3}x) $

Passo 4

Finalmente, juntamos todas as soluções encontradas para formar a solução geral da equação diferencial:
y(x) = C1 + C2 e^x + C3 e^-x + (C4 + C5 x + C6 x^2) e^-2x + C7 cos(raiz3x) + C8 sin(raiz3x)
Aqui, $ C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7 $ e $ C_8 $ são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se houver condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 + C2 e^x + C3 e^-x + (C4 + C5 x + C6 x^2) e^-2x + C7 cos(raiz3x) + C8 sin(raiz3x)

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