Determine a função
na equação
sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo $ y’’ - y = F(x) $ e uma função $ y(x) $ que é solução dessa equação. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função $ F(x) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de cálculo, especialmente as derivadas de funções. Vamos calcular as derivadas primeiras e segundas de $ y(x) $ e então substituir na equação dada para encontrar $ F(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ y(x) $. A função dada é:
Para derivar $ y(x) $, vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de $ C_{1} e^{-x} $ em relação a $ x $ é $ -C_{1} e^{-x} $.
- A derivada de $ C_{2} e^{x} $ é $ C_{2} e^{x} $.
- A derivada de $ -1 $ é $ 0 $ porque é uma constante.
- A derivada de $ -\frac{3 \sin(x)}{2} $ é $ -\frac{3 \cos(x)}{2} $.
- A derivada de $ -\frac{e^{-x}}{3} $ é $ \frac{e^{-x}}{3} $.
Então, a primeira derivada $ y’(x) $ fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y(x) $, ou seja, $ y’’(x) $. Novamente, derivamos cada termo da primeira derivada:
- A derivada de $ -C_{1} e^{-x} $ é $ C_{1} e^{-x} $.
- A derivada de $ C_{2} e^{x} $ é $ C_{2} e^{x} $.
- A derivada de $ -\frac{3 \cos(x)}{2} $ é $ \frac{3 \sin(x)}{2} $.
- A derivada de $ \frac{e^{-x}}{3} $ é $ -\frac{e^{-x}}{3} $.
Assim, a segunda derivada $ y’’(x) $ fica:
Passo 4
Agora que temos $ y’’(x) $ e $ y(x) $, podemos substituir esses valores na equação original para encontrar $ F(x) $:
Substituindo:
Vamos simplificar isso:
- Os termos $ C_{1} e^{-x} $ e $ C_{2} e^{x} $ se cancelam.
- Fica: $ \frac{3 \sin(x)}{2} - \frac{e^{-x}}{3} - (-1 - \frac{3 \sin(x)}{2} - \frac{e^{-x}}{3}) $
Simplificando mais:
Agora, somando os termos semelhantes:
Então, temos:
Resposta
A função $ F(x) $ é: