Determine a função F(x) na equação
y^prime prime-y=F(x) sabendo que
y(x)=C1 e^-x+C2 e^x-1-3 sen(x)2-e^-x3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo $ y’’ - y = F(x) $ e uma função $ y(x) $ que é solução dessa equação. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função $ F(x) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de cálculo, especialmente as derivadas de funções. Vamos calcular as derivadas primeiras e segundas de $ y(x) $ e então substituir na equação dada para encontrar $ F(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ y(x) $. A função dada é:
y(x)
Para derivar $ y(x) $, vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de $ C_{1} e^{-x} $ em relação a $ x $ é $ -C_{1} e^{-x} $.
  • A derivada de $ C_{2} e^{x} $ é $ C_{2} e^{x} $.
  • A derivada de $ -1 $ é $ 0 $ porque é uma constante.
  • A derivada de $ -\frac{3 \sin(x)}{2} $ é $ -\frac{3 \cos(x)}{2} $.
  • A derivada de $ -\frac{e^{-x}}{3} $ é $ \frac{e^{-x}}{3} $.
Então, a primeira derivada $ y’(x) $ fica:
y(x) = C1 e^-x + C2 e^x -1 -3 sin(x)2 -e^-x3

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y(x) $, ou seja, $ y’’(x) $. Novamente, derivamos cada termo da primeira derivada:
  • A derivada de $ -C_{1} e^{-x} $ é $ C_{1} e^{-x} $.
  • A derivada de $ C_{2} e^{x} $ é $ C_{2} e^{x} $.
  • A derivada de $ -\frac{3 \cos(x)}{2} $ é $ \frac{3 \sin(x)}{2} $.
  • A derivada de $ \frac{e^{-x}}{3} $ é $ -\frac{e^{-x}}{3} $.
Assim, a segunda derivada $ y’’(x) $ fica:
y(x)

Passo 4

Agora que temos $ y’’(x) $ e $ y(x) $, podemos substituir esses valores na equação original para encontrar $ F(x) $:
y''(x)
Substituindo:
y(x)
Vamos simplificar isso:
  • Os termos $ C_{1} e^{-x} $ e $ C_{2} e^{x} $ se cancelam.
  • Fica: $ \frac{3 \sin(x)}{2} - \frac{e^{-x}}{3} - (-1 - \frac{3 \sin(x)}{2} - \frac{e^{-x}}{3}) $
Simplificando mais:
F(x)
Agora, somando os termos semelhantes:
y'' - y = F(x)
( C1 e^-x + C2 e^x + 3 sin(x)2 - e^-x3 ) - ( C1 e^-x + C2 e^x -1 - 3 sin(x)2 - e^-x3 ) = F(x)
C1 e^-x
Então, temos:
C2 e^x

Resposta

A função $ F(x) $ é:
F(x)

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