Passo 1

Nesse exercício vamos resolver a EDO y'=cos^2 x,cos^2 2y usando o método de separação de variáveis. Esse tipo de equação é chamado de separável porque conseguimos reunir todas as expressões em y de um lado e em x do outro para então integrar.

Passo 2

Escrevemos y' como dydx e separamos variáveis:
dydx=cos^2 x,cos^2 2yLongrightarrowdycos^2 2y=cos^2 x,dx

Passo 3

Agora configuramos as integrais de cada lado:
integral dycos^2 2y ,=, integral cos^2 x ,dx

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente. Para o lado de y, usamos integralsec^2 u,du=tan u e a substituição u=2y, já para o lado de x usamos cos^2 x=tfrac1+cos2x2:
integral sec^2 2y,dy=12tan(2y),integral cos^2 x,dx=integral 1+cos2x2,dx=x2+sin2x4

Passo 5

Igualando as expressões e incluindo a constante de integração C:
12tan(2y)=x2+sin2x4+CLongrightarrowtan(2y)=x+sin2x2+C'

Passo 6

Por fim, isolamos y aplicando a função arctan e dividindo por 2:
2y=arctanl(x+tfracsin2x2+C'r) Longrightarrow y=12arctanl(x+tfracsin2x2+C'r)

Resposta

y=tfrac12arctanl(x+tfracsin2x2+Cr)

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