1. y^prime-12 y=2 cos t, y(0)=a

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem y' - tfrac12 y = 2cos t com condição inicial y(0)=a. Vamos usar fator integrante para equações lineares.

Passo 2

O fator integrante é dado por mu(t)=e^integral -tfrac12,dt=e^-t/2. Multiplicando a equação original por mu(t) obtemos
ddtl(y,e^-t/2r)=2,e^-t/2cos t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
y,e^-t/2=integral 2,e^-t/2cos t,dt + C

Passo 4

Para calcular integral 2e^-t/2cos t,dt, usamos a fórmula integral e^alpha tcos(beta t),dt= e^alpha talphacos(beta t)+betasin(beta t)alpha^2+beta^2 com alpha=-tfrac12 e beta=1. O resultado é
integral 2e^-t/2cos t,dt = e^-t/2l(-tfrac45cos t + tfrac85sin tr) + C

Passo 5

Logo temos
y,e^-t/2=e^-t/2l(-tfrac45cos t + tfrac85sin tr)+C

Passo 6

Isolando y:
y(t)=-tfrac45cos t + tfrac85sin t + C,e^t/2

Passo 7

Usando a condição inicial y(0)=a:
y(0)=-tfrac45+C=a implies C=a+tfrac45

Resposta

y(t)=-tfrac45cos t + tfrac85sin t + l(a+tfrac45r)e^t/2

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