Passo 1

O enunciado pede calcular o limite limxto+inftyl(raiz3x^2+2x+1-raiz2,xr). Esse limite envolve raízes de polinômios de segundo grau, e vamos usar racionalização para tratar a diferença de duas raízes e depois analisar o comportamento assintótico.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela conjugada para eliminar a raiz na subtração. Assim:
raiz3x^2+2x+1-raiz2,x =(raiz3x^2+2x+1-raiz2,x),(raiz3x^2+2x+1+raiz2,x)raiz3x^2+2x+1+raiz2,x =3x^2+2x+1-2x^2raiz3x^2+2x+1+raiz2,x

Passo 3

No numerador temos 3x^2+2x+1-2x^2=x^2+2x+1=(x+1)^2. Logo a expressão fica
(x+1)^2raiz3x^2+2x+1+raiz2,x

Passo 4

Para entender o comportamento quando xto+infty, fatoramos x em cada termo de maior ordem. Note que
raiz3x^2+2x+1=xraiz3+tfrac2x+tfrac1x^2
Dividindo numerador e denominador por x, obtemos
x^2(1+1/x)^2xl(raiz3+2/x+1/x^2+raiz2r) =x(1+1/x)^2raiz3+2/x+1/x^2+raiz2
Nesse formato, o numerador cresce como x e o denominador tende a constante não nula quando xto+infty, então a expressão cresce sem limite.

Resposta

+infty

Exercícios relacionados