Nos Exercícios 13-28, use a Regra Logarítmica para determinar a integral indefinida.
integral xx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral xx^2+4 , dx. O que estamos fazendo aqui é encontrar a antiderivada dessa função, ou seja, descobrir qual função derivada resulta nessa fração. Para resolver isso, vamos usar a Regra Logarítmica para integrais, que é útil quando temos uma função no formato f'(x)f(x). Vamos identificar as partes que precisamos aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar f(x) e f'(x) na integral. Observando o denominador x^2 + 4, podemos considerar:
f(x) = x^2 + 4
Agora, vamos derivar f(x) para encontrar f'(x):
f'(x) = ddx(x^2 + 4) = 2x

Passo 3

Notamos que o numerador da nossa integral é x, que é metade de f'(x) que é 2x. Para ajustar isso, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
integral xx^2+4 , dx = 12 integral 2xx^2+4 , dx
Assim, agora temos a forma f'(x)f(x), que é perfeita para aplicar a Regra Logarítmica.

Passo 4

Aplicando a Regra Logarítmica, sabemos que:
integral f'(x)f(x) , dx = ln|f(x)| + C
Onde C é a constante de integração. Substituindo f(x) = x^2 + 4, temos:
12 integral 2xx^2+4 , dx = 12 ln|x^2 + 4| + C

Resposta

A integral integral xx^2+4 , dx é igual a:
12 ln(x^2 + 4) + C

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