1. integral x(3 x^2+1) d x(3 x^4+2 x^2+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xl(3x^2+1r)l(3x^4+2x^2+1r)^2,dx
O conteúdo é integração por substituição, observando que a derivada do denominador aparece (à parte de constante) no numerador.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 3x^4 + 2x^2 + 1
Então calculamos a diferencial du.

Passo 3

Derivando u em relação a x temos
dudx = 12x^3 + 4x = 4xl(3x^2+1r)
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du = 4xl(3x^2+1r),dx Longrightarrow xl(3x^2+1r),dx = du4

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral xl(3x^2+1r)u^2,dx = integral 14,duu^2 = 14integral u^-2,du

Passo 5

Integramos em u:
14integral u^-2,du = 14cdotu^-1-1 + C = -14u + C
Voltando a x, substituímos u = 3x^4+2x^2+1.

Resposta

-14l(3x^4+2x^2+1r) + C

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