x^2 y^prime prime+4 x y^prime+3 y=10 tanh (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler não-homogênea
x^2y''+4x,y'+3y=10,tanh(2x)
Vamos usar a mudança de variável x=e^t para transformar em uma EDO de coeficientes constantes em t, resolver a parte homogênea, e depois aplicar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Defina t=ln x (logo x=e^t) e u(t)=y(e^t). Calculamos
dydx=1xu'(t), d^2ydx^2=1x^2l(u''(t)-u'(t)r)
Substituindo em x^2y''+4x,y'+3y
u''-u'+4u'+3u = u''+3u'+3u
e a equação vira
u''+3u'+3u=10,tanhl(2e^tr)

Passo 3

A parte homogênea em u é
u''+3u'+3u=0,
com equação característica
r^2+3r+3=0 ;Longrightarrow; r=-32pm raiz32,i
Logo as soluções fundamentais em t são
u1(t)=e^-tfrac32tcos!l(tfracraiz32tr), u2(t)=e^-tfrac32tsin!l(tfracraiz32tr)
Voltando a x=e^t, temos
y1(x)=x^-tfrac32cos!l(tfracraiz32ln xr), y2(x)=x^-tfrac32sin!l(tfracraiz32ln xr)
como base da solução homogênea yh(x).

Passo 4

Para uma solução particular usamos variação de parâmetros. O Wronskiano é
W(x)= y1&y2 y1'&y2' =raiz32,x^-3
A fórmula dá
yp(x)=-y1(x)!integral y2(x),g(x)x^2W(x),dx + y2(x)!integral y1(x),g(x)x^2W(x),dx,
onde g(x)=10tanh(2x). Note que
g(x)x^2W(x) =10tanh(2x)x^2,l(tfracraiz32x^-3r) =20raiz3,x,tanh(2x)
Então
yp(x)=-20raiz3,y1(x)integral x,y2(x),tanh(2x),dx +20raiz3,y2(x)integral x,y1(x),tanh(2x),dx

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) =C1y1(x)+C2y2(x)+yp(x),
onde y1,y2 e yp são os definidos acima.

Resposta

y(x) =C1x^-tfrac32cos!l(tfracraiz32ln xr) +C2x^-tfrac32sin!l(tfracraiz32ln xr) -20raiz3,x^-tfrac32cos!l(tfracraiz32ln xr) integral x^-tfrac12sin!l(tfracraiz32ln xr)tanh(2x),dx
y(x)= +20raiz3,x^-tfrac32sin!l(tfracraiz32ln xr) integral x^-tfrac12cos!l(tfracraiz32ln xr)tanh(2x),dx

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