x^2 y^prime prime-x y^prime+2 y=x^3+sen(x) y1=x sen(ln (x))

Passo 1

O enunciado dá a EDO não--homogênea
x^2y'' - x y' + 2y = x^3 + sin x
e informa uma solução do homogêneo
y1(x)=xsinl(ln xr)
Este é um caso de equação de Cauchy--Euler com termo não--homogêneo. Vamos (i) achar a segunda solução do homogêneo, (ii) montar a solução geral do homogêneo e (iii) buscar uma solução particular para o lado direito.

Passo 2

Para a parte homogênea
x^2y'' - x y' + 2y = 0
usamos o chute y=x^m. Substituindo:
m(m-1)-m+2=0Longrightarrow m^2-2m+2=0
as raízes são
m=1pm i
Logo, as soluções independentes são
y1(x)=xsinl(ln xr), y2(x)=xcosl(ln xr)

Passo 3

A solução geral do homogêneo é
yh(x)=C1,xsinl(ln xr)+C2,xcosl(ln xr)

Passo 4

Para a parte x^3 do termo não--homogêneo tentamos yp1=A,x^3. Substituindo em
x^2y''-x y'+2y
vem
x^2cdot 6A x - xcdot 3A x^2 +2A x^3 =6A x^3-3A x^3+2A x^3=5A x^3
Queremos 5A x^3=x^3, logo A=tfrac15. Assim
yp1(x)=x^35

Passo 5

Para a parte sin x usamos variação de parâmetros. Primeiro escrevemos a EDO na forma padrão
y'' - 1x,y' + 2x^2,y = x + sin xx^2
Chamando o lado direito de r(x), temos
r(x)=x+sin xx^2
O Wronskiano das soluções homogêneas é
W(x)= xsin(ln x)&xcos(ln x) ddx[xsin(ln x)]&ddx[xcos(ln x)] =-,x
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(x)=-y2(x),r(x)W(x), u2'(x)=y1(x),r(x)W(x)
Como y1=xsin(ln x), y2=xcos(ln x) e W=-x, resulta
u1'(x) =cos(ln x),l(x+tfracsin xx^2r), u2'(x) =-sin(ln x),l(x+tfracsin xx^2r)
Integramos formalmente:
u1(x)=integral cos(ln x)l(x+tfracsin xx^2r),dx, u2(x)=-integral sin(ln x)l(x+tfracsin xx^2r),dx
Em seguida a parte particular associada a sin x é
yp2(x) =u1(x),xsin(ln x)+u2(x),xcos(ln x)

Passo 6

Reunindo tudo:
y(x) =underbraceC1,xsin(ln x)+C2,xcos(ln x) yh(x) +underbracex^35 yp1(x) +underbraceyp2(x)substackobtido por variaçãode parâmetros çãâ

Resposta

boxed y(x) =C1,xsin(ln x) +C2,xcos(ln x) +x^35 +underbracexsin(ln x),integral cos(ln x)l(x+tfracsin xx^2r),dx -xcos(ln x),integral sin(ln x)l(x+tfracsin xx^2r),dx yp2(x)

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