(IADES/2022 - ADASA) Suponha que cinco membros da Diretoria Colegiada da Adasa participem da International Conference on Water and Sustainability. Para a sessão plenária da conferência, foram reservados cinco lugares contíguos para os representantes da Adasa. Durante a plenária, foi realizado um intervalo de 15 minutos e, neste momento, os cinco membros se levantaram. Findo o intervalo, eles retornaram para os locais reservados. Qual é a probabilidade de que apenas dois deles sentem nos seus lugares originais, ou seja, naqueles que ocupavam antes do intervalo?
a) 1 / 2
b) 1 / 3
c) 2 / 5
d) 1 / 4
e) 1 / 6

Passo 1

Beleza, vamos resumir o problema. Tem 5 diretores sentados em 5 cadeiras reservadas. Eles levantam todos, e depois voltam sentar aleatoriamente. A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente 2 deles fiquem na mesma cadeira de antes?
Conteúdo: probabilidade básica em permutações. A gente vai precisar saber:
  • Quantos jeitos totais de permutar 5 pessoas (5!)
  • Como contar permutações com exatamente pontos fixos (usar combinações e derangements)

Passo 2

Primeiro, qual o total de maneiras de os 5 retornarem às cadeiras?
É só o número de permutações de 5 objetos, que é
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Isso será nosso espaço amostral.

Passo 3

Agora, vamos contar só as permutações em que exatamente 2 voltam ao lugar de antes.
  1. Escolher quais 2 pessoas ficarão no lugar original: D(3) = 3!,l(1 - tfrac11! + tfrac12! - tfrac13!r) = 6,(1 - 1 + 1/2 - 1/6) = 6 times tfrac13 = 2 jeitos.
  2. As outras 3 pessoas não podem ficar nos próprios lugares. O número de permutações de 3 objetos sem ponto fixo é o derangement binom52times D(3) = 10 times 2 = 20 .
    • Para 3 objetos, dá para listar ou usar a fórmula:
Logo, o total de casos favoráveis é

Passo 4

A probabilidade de exatamente 2 ficarem no lugar é
casos favoráveiscasos totais = 20120 = 16 á

Resposta

A probabilidade pedida é .

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