(IADES/2022 - ADASA) Suponha que cinco membros da Diretoria Colegiada da Adasa participem da International Conference on Water and Sustainability. Para a sessão plenária da conferência, foram reservados cinco lugares contíguos para os representantes da Adasa. Durante a plenária, foi realizado um intervalo de 15 minutos e, neste momento, os cinco membros se levantaram. Findo o intervalo, eles retornaram para os locais reservados. Qual é a probabilidade de que apenas dois deles sentem nos seus lugares originais, ou seja, naqueles que ocupavam antes do intervalo?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o problema. Tem 5 diretores sentados em 5 cadeiras reservadas. Eles levantam todos, e depois voltam sentar aleatoriamente. A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente 2 deles fiquem na mesma cadeira de antes?
Conteúdo: probabilidade básica em permutações. A gente vai precisar saber:
Conteúdo: probabilidade básica em permutações. A gente vai precisar saber:
- Quantos jeitos totais de permutar 5 pessoas (5!)
- Como contar permutações com exatamente
pontos fixos (usar combinações e derangements)
Passo 2
Primeiro, qual o total de maneiras de os 5 retornarem às cadeiras?
É só o número de permutações de 5 objetos, que é
É só o número de permutações de 5 objetos, que é
Isso será nosso espaço amostral.
Passo 3
Agora, vamos contar só as permutações em que exatamente 2 voltam ao lugar de antes.
- Escolher quais 2 pessoas ficarão no lugar original:
jeitos. - As outras 3 pessoas não podem ficar nos próprios lugares. O número de permutações de 3 objetos sem ponto fixo é o derangement
. - Para 3 objetos, dá para listar ou usar a fórmula:
- Para 3 objetos, dá para listar ou usar a fórmula:
Logo, o total de casos favoráveis é
Passo 4
A probabilidade de exatamente 2 ficarem no lugar é
Resposta
A probabilidade pedida é
.