(AOCP/2022 - PC/GO) Todos os anagramas da palavra AGENTE e todos os anagramas da palavra POLICIA (sem acento) foram embaralhados e escritos em uma mesma lista. Ao escolhermos um desses anagramas, aleatoriamente, a probabilidade de ser um anagrama da palavra AGENTE está entre
a) 0 % e 20 %
b) 21 % e 40 %
c) 41 % e 60 %
d) 61 % e 80 %
e) 81 % e 100 %

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher um anagrama aleatório da lista (que contém todos os anagramas de AGENTE e de POLICIA), cair num anagrama de AGENTE.
Conteúdo: Anagramas (permutação com repetição) e probabilidade básica.
Precisamos:
  1. Contar quantos anagramas tem AGENTE.
  2. Contar quantos anagramas tem POLICIA.
  3. Calcular a probabilidade como “casos favoráveis” dividido por “casos totais”.

Passo 2

Vamos achar o número de anagramas de AGENTE:
  • AGENTE tem 6 letras, mas o E aparece 2 vezes.
  • Fórmula de permutação com repetição:
6!2!
  • Lembrando que 6!2! = 7202 = 360 e .
  • Logo:

Passo 3

Agora, número de anagramas de POLICIA:
  • POLICIA tem 7 letras, mas o I aparece 2 vezes.
  • Mesma ideia:
7!2!
  • Sabendo que 7!2! = 50402 = 2520 , e ainda :

Passo 4

Somando tudo, o total de anagramas escritos na lista é
360 + 2520 = 2880
A probabilidade de escolher um anagrama de AGENTE é
360 (casos de AGENTE)2880 (total) = 3602880 = 18 = 0,125 = 12,5%

Resposta

A probabilidade é 12,5%, portanto está entre 0% e 20% (alternativa a).

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