A ideia é construir um gerador capaz de movimentar um carrinho de massa m que desliza por um plano inclinado de comprimento L e ângulo \theta em relação a um plano horizontal, para que em uma subida esse carrinho transporte alguns materiais necessários para se movimentar até uma altura determinada de modo a exigir menos esforço. Como se trata de um sistema real, o plano apresenta atrito cinético com coeficiente \mu_{k}. O carrinho está ligado por um cabo a um gerador elétrico, através de uma polia ideal (sem atrito). O gerador deve aplicar sobre o carrinho uma força resistiva proporcional à sua velocidade, dada por
F_{r}=k v
onde k>0 é uma constante de acoplamento eletromecânico e v é a velocidade instantânea do carrinho.
Admite-se que o sistema atinge rapidamente uma velocidade terminal constante v (ou seja, com aceleração nula) antes de o carrinho atingir o final do plano.

Tarefa:

Qual é o ângulo mínimo que maximiza a potência extraída do gerador? Para isso, é preciso determinar essa potência. Usando os princípios da conservação de energia mecânica e o equilíbrio de forças no regime estacionário, podemos encontrar o ângulo ângulo \theta\left(\operatorname{com} 0<\theta<\frac{\pi}{2}\right).
Dados conhecidos: m, g, \mu_{k} e k são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo \theta (com 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}) que maximiza a potência extraída pelo gerador, sabendo que o carrinho de massa m desliza pelo plano inclinado de comprimento L com atrito cinético de coeficiente \mu_{k}, e que o gerador aplica sobre o carrinho uma força resistiva proporcional à velocidade, dada por F_{r}=k v com k>0.
Informações relevantes fornecidas:
m,\\ g,\\ \mu_{k},\\ k>0
O sistema atinge rapidamente uma velocidade terminal (regime estacionário, aceleração nula) antes do final do plano. Precisamos:
  • determinar a potência extraída pelo gerador em regime estacionário como função de \theta;
  • achar o ângulo que maximiza essa potência, observando possíveis restrições físicas (por exemplo, quando o carrinho não se move).

Passo 2

Identificação das forças e sinais (esquema mental): tomando sentido positivo para o movimento do carrinho descendo o plano (ou seja, para baixo ao longo do plano). As forças ao longo do plano são:
\text{componente do peso para baixo: } m g \sin\theta,
\text{força de atrito cinético, para cima: } F_{\text{at}}=\mu_{k} N=\mu_{k} m g \cos\theta,çé
\text{força resistiva do gerador, para cima: } F_{r}=k v.ç
Explico cada termo:
  • m é a massa do carrinho (kg);
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2);
  • \sin\theta e \cos\theta aparecem por decomposição do peso em paralelo e perpendicular ao plano;
  • N=m g\cos\theta é a reação normal do plano;
  • \mu_{k} m g\cos\theta é a magnitude da força de atrito cinético, sempre contrária ao movimento relativo;
  • k é a constante que relaciona a força resistiva do gerador à velocidade v (unidades N·s/m), e F_{r}=k v sempre se opõe ao sentido do movimento.

Passo 3

Equilíbrio de forças no regime estacionário (aceleração nula). Soma das forças ao longo do plano igual a zero:
m g \sin\theta - \mu_{k} m g \cos\theta - k v = 0.
Isto vem da segunda lei de Newton em regime a=0. Rearranjando para v:
k v = m g (\sin\theta - \mu_{k}\cos\theta).
Portanto a velocidade terminal (em regime estacionário) é
v = \frac{m g}{k}\big(\sin\theta - \mu_{k}\cos\theta\big).
Observação física importante: para que haja movimento para baixo com v>0 é necessário que o lado direito seja positivo, ou seja \sin\theta - \mu_{k}\cos\theta>0. Vamos tratar essa condição adiante.

Passo 4

Expressão da potência extraída pelo gerador. A potência instantânea fornecida ao gerador (potência mecânica convertida em elétrica) em regime estacionário é o produto da força resistiva pelo módulo da velocidade:
P = F_{r}\,v = k v^{2}.
Substituindo a expressão de v do passo anterior:
P = k \left(\frac{m g}{k}\big(\sin\theta - \mu_{k}\cos\theta\big)\right)^{2}.
Simplificando:
P = \frac{m^{2} g^{2}}{k}\big(\sin\theta - \mu_{k}\cos\theta\big)^{2}.
Explico: P tem unidades de potência (W). A constante \dfrac{m^{2}g^{2}}{k} é positiva, então a dependência angular está inteiramente no quadrado \big(\sin\theta - \mu_{k}\cos\theta\big)^{2}.

Passo 5

Condição para movimento (potência positiva): para P>0 é necessário v>0, ou seja
\sin\theta - \mu_{k}\cos\theta>0.
Isto é equivalente a
\tan\theta>\mu_{k}.
Logo o ângulo mínimo para que o carrinho se mova e o gerador extraia potência é
\theta_{\min}^{\text{mov}}=\arctan(\mu_{k}).
Se \theta\le \arctan(\mu_{k}), não há movimento e P=0.

Passo 6

Maximização de P em relação a \theta (para \theta tal que há movimento). Como \dfrac{m^{2} g^{2}}{k}>0, maximizar P é equivalente a maximizar
f(\theta)=\big(\sin\theta - \mu_{k}\cos\theta\big)^{2},
ou, como o parêntese é positivo no domínio de interesse, maximizar
g(\theta)=\sin\theta - \mu_{k}\cos\theta.
Calculamos a derivada de g:
g'(\theta)=\cos\theta + \mu_{k}\sin\theta.
Note que para \theta\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big) temos \cos\theta\ge0 e \sin\theta\ge0, portanto g'(\theta)=\cos\theta+\mu_{k}\sin\theta>0 para todo \theta\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big) dado \mu_{k}>0. Assim g(\theta) é crescente em todo o intervalo aberto \big(0,\tfrac{\pi}{2}\big). Consequentemente P(\theta) também é crescente nesse intervalo onde existe movimento. Não existe ponto crítico interno onde P'(\theta)=0 com 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Conclusões sobre o máximo:
  • Como P(\theta) é crescente para \theta admissíveis, a potência cresce quando \theta aumenta.
  • O menor ângulo que permite extração de potência é \theta=\arctan(\mu_{k}). Para ângulos maiores que esse, P>0 e cresce com \theta.
  • O supremum de P no intervalo aberto 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} ocorre quando \theta tende a \tfrac{\pi}{2}. Se permitirmos o caso limite \theta=\tfrac{\pi}{2} (plano vertical), a potência máxima alcançada é obtida substituindo \sin\theta=1 e \cos\theta=0 em P:
P_{\max}=\frac{m^{2} g^{2}}{k}\cdot(1-0)^{2}=\frac{m^{2} g^{2}}{k}.
Portanto o ângulo que maximiza a potência é o maior possível; dentro do intervalo aberto dado não existe um máximo interior — a potência aumenta até o limite \theta\to\tfrac{\pi}{2}. Se o problema permitir incluir o caso extremo, o ângulo que maximiza é \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\theta_{\min}^{\text{mov}}=\arctan(\mu_{k}) (menor ângulo para haver extração de potência).
A potência é crescente com \theta para \theta>\arctan(\mu_{k}); o supremo ocorre em \theta\to\tfrac{\pi}{2}.
Se \theta=\tfrac{\pi}{2} for permitido, \theta_{\text{max}}=\tfrac{\pi}{2} e P_{\max}=\dfrac{m^{2}g^{2}}{k}.

Exercícios relacionados