A ideia é construir um gerador capaz de movimentar um carrinho de massa
que desliza por um plano inclinado de comprimento
e ângulo
em relação a um plano horizontal, para que em uma subida esse carrinho transporte alguns materiais necessários para se movimentar até uma altura determinada de modo a exigir menos esforço. Como se trata de um sistema real, o plano apresenta atrito cinético com coeficiente
. O carrinho está ligado por um cabo a um gerador elétrico, através de uma polia ideal (sem atrito). O gerador deve aplicar sobre o carrinho uma força resistiva proporcional à sua velocidade, dada por
onde
é uma constante de acoplamento eletromecânico e
é a velocidade instantânea do carrinho.
Admite-se que o sistema atinge rapidamente uma velocidade terminal constante
(ou seja, com aceleração nula) antes de o carrinho atingir o final do plano.
Tarefa:
Qual é o ângulo mínimo que maximiza a potência extraída do gerador? Para isso, é preciso determinar essa potência. Usando os princípios da conservação de energia mecânica e o equilíbrio de forças no regime estacionário, podemos encontrar o ângulo ângulo
.
Dados conhecidos:
e
são constantes positivas.
Admite-se que o sistema atinge rapidamente uma velocidade terminal constante
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ângulo
(com
) que maximiza a potência extraída pelo gerador, sabendo que o carrinho de massa
desliza pelo plano inclinado de comprimento
com atrito cinético de coeficiente
, e que o gerador aplica sobre o carrinho uma força resistiva proporcional à velocidade, dada por
com
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O sistema atinge rapidamente uma velocidade terminal (regime estacionário, aceleração nula) antes do final do plano. Precisamos:
- determinar a potência extraída pelo gerador em regime estacionário como função de
; - achar o ângulo que maximiza essa potência, observando possíveis restrições físicas (por exemplo, quando o carrinho não se move).
Passo 2
Identificação das forças e sinais (esquema mental): tomando sentido positivo para o movimento do carrinho descendo o plano (ou seja, para baixo ao longo do plano). As forças ao longo do plano são:
Explico cada termo:
-
é a massa do carrinho (kg); -
é a aceleração da gravidade (m/s^2); -
e aparecem por decomposição do peso em paralelo e perpendicular ao plano; -
é a reação normal do plano; -
é a magnitude da força de atrito cinético, sempre contrária ao movimento relativo; -
é a constante que relaciona a força resistiva do gerador à velocidade (unidades N·s/m), e sempre se opõe ao sentido do movimento.
Passo 3
Equilíbrio de forças no regime estacionário (aceleração nula). Soma das forças ao longo do plano igual a zero:
Isto vem da segunda lei de Newton em regime
. Rearranjando para
:
Portanto a velocidade terminal (em regime estacionário) é
Observação física importante: para que haja movimento para baixo com
é necessário que o lado direito seja positivo, ou seja
. Vamos tratar essa condição adiante.
Passo 4
Expressão da potência extraída pelo gerador. A potência instantânea fornecida ao gerador (potência mecânica convertida em elétrica) em regime estacionário é o produto da força resistiva pelo módulo da velocidade:
Substituindo a expressão de
do passo anterior:
Simplificando:
Explico:
tem unidades de potência (W). A constante
é positiva, então a dependência angular está inteiramente no quadrado
.
Passo 5
Condição para movimento (potência positiva): para
é necessário
, ou seja
Isto é equivalente a
Logo o ângulo mínimo para que o carrinho se mova e o gerador extraia potência é
Se
, não há movimento e
.
Passo 6
Maximização de
em relação a
(para
tal que há movimento). Como
, maximizar
é equivalente a maximizar
ou, como o parêntese é positivo no domínio de interesse, maximizar
Calculamos a derivada de
:
Note que para
temos
e
, portanto
para todo
dado
. Assim
é crescente em todo o intervalo aberto
. Consequentemente
também é crescente nesse intervalo onde existe movimento. Não existe ponto crítico interno onde
com
.
Passo 7
Conclusões sobre o máximo:
- Como
é crescente para admissíveis, a potência cresce quando aumenta. - O menor ângulo que permite extração de potência é
. Para ângulos maiores que esse, e cresce com . - O supremum de
no intervalo aberto ocorre quando tende a . Se permitirmos o caso limite (plano vertical), a potência máxima alcançada é obtida substituindo e em :
Portanto o ângulo que maximiza a potência é o maior possível; dentro do intervalo aberto dado não existe um máximo interior — a potência aumenta até o limite
. Se o problema permitir incluir o caso extremo, o ângulo que maximiza é
.
Resposta
A potência é crescente com
Se