Questão 1

Uma massa m=0,5 \mathrm{~kg} está presa a uma das extremidades de uma mola, cuja constante elástica é k=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, e a outra extremidade é mantida fixa.
(1,0 ponto) a. determine a frequência angular e o período das oscilações desta massa;
(1,0 ponto) b. se a posição inicial for x_{0}=0 \mathrm{~m} e a velocidade inicial for v_{0}=50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, descreva a posiçāo em funçāo do tempo deste oscilador.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece os dados abaixo.
Perguntas:
  • (a) Determine a frequência angular e o período das oscilações da massa presa à mola.
  • (b) Com posição inicial x_{0}=0 e velocidade inicial v_{0}=50\\ \mathrm{m/s}, descreva a posição x(t) em função do tempo.
Dados fornecidos:
  • Massa: m=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=100\\ \mathrm{N/m}.
  • Posição inicial: x(0)=x_{0}=0.
  • Velocidade inicial: v(0)=v_{0}=50\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Equação de movimento para massa presa a mola (oscilador harmônico sem amortecimento): a segunda lei de Newton dá
m\ddot{x}+k x=0.
Aqui \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada de x em relação ao tempo), m é a massa e k a constante da mola. Essa equação tem solução oscilatória com frequência angular definida por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando: \omega (omega) é a frequência angular, medida em rad/s, que determina quão rápido a partícula oscila. Quanto maior k (mola mais rígida) ou menor m (massa menor), maior será \omega.

Passo 3

Calculemos \omega usando os números dados:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{100}{0,5}}=\sqrt{200}.
Simplificando \sqrt{200}=10\sqrt{2}. Portanto
\omega=10\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 14,142\\ \mathrm{rad/s}.
Observação: aqui mostrei a forma exata 10\sqrt{2} e a aproximação numérica com três casas decimais.

Passo 4

Período T (tempo de uma oscilação completa) está relacionado com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=10\sqrt{2},
T=\frac{2\pi}{10\sqrt{2}}=\frac{\pi}{5\sqrt{2}}.
Agora a aproximação numérica:
T\approx\frac{2\pi}{14,142}\approx 0,444\\ \mathrm{s}.
Explicando: o período é o inverso da frequência (a frequência angular \omega está em rad/s, daí o fator 2\pi na relação).

Passo 5

Agora parte (b): forma geral da solução da equação homogênea é uma combinação de seno e cosseno ou uma amplitude com fase. Usamos a forma com amplitude A e fase \varphi:
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Aqui A é a amplitude (máximo deslocamento em metros) e \varphi é a fase inicial (em radianos). A velocidade obtida derivando em relação ao tempo é
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Explicando: derivada de \cos -\sin, e aparece o fator \omega por regra da cadeia.

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
x(0)=A\cos(\varphi)=x_{0}=0,
v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=v_{0}=50.
A primeira equação dá \cos(\varphi)=0. Isso implica que \varphi é um ângulo onde o cosseno é zero, isto é \varphi=\pm\frac{\pi}{2}+n\pi. Para decidir o sinal (qual dessas possibilidades corresponde à condição de velocidade), usamos a segunda equação.

Passo 7

Como \cos(\varphi)=0, então \sin(\varphi)=\pm 1.
  • Se \sin(\varphi)=1, a segunda equação fica v_{0}=-A\omega(1)=-A\omega, daí A=-\dfrac{v_{0}}{\omega} (A negativo).
  • Se \sin(\varphi)=-1, a segunda equação fica v_{0}=-A\omega(-1)=A\omega, daí A=\dfrac{v_{0}}{\omega} (A positivo).
A amplitude A é convencionalmente tomada positiva, então escolhemos \sin(\varphi)=-1, que corresponde a \varphi=-\dfrac{\pi}{2} (uma escolha simples dentre as equivalentes). Assim
A=\frac{v_{0}}{\omega}.

Passo 8

Calcule A numericamente e em forma exata:
A=\frac{v_{0}}{\omega}=\frac{50}{10\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m}\approx 3,536\\ \mathrm{m}.
Agora substituímos A, \omega e \varphi na solução. Com \varphi=-\dfrac{\pi}{2},
x(t)=A\cos\!\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right).
Usando a identidade \cos(\theta-\tfrac{\pi}{2})=\sin\theta, obtemos a forma mais simples
x(t)=A\sin(\omega t).

Passo 9

Substituindo os valores calculados \,A=\dfrac{5\sqrt{2}}{2} e \omega=10\sqrt{2}, a posição em função do tempo fica
x(t)=\frac{5\sqrt{2}}{2}\,\sin\!\bigl(10\sqrt{2}\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida em t=0: x(0)=0 (porque \sin 0=0). Velocidade inicial: v(t)=A\omega\cos(\omega t), então v(0)=A\omega=\dfrac{50}{1}=50\\ \mathrm{m/s}, conforme pedido.

Resposta

\omega=10\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 14,142\\ \mathrm{rad/s}
T=\dfrac{2\pi}{10\sqrt{2}}=\dfrac{\pi}{5\sqrt{2}}\approx 0,444\\ \mathrm{s}
x(t)=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\,\sin\!\bigl(10\sqrt{2}\,t\bigr)\\ \mathrm{m}

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