Questão 1
Uma massa
está presa a uma das extremidades de uma mola, cuja constante elástica é
, e a outra extremidade é mantida fixa.
(1,0 ponto) a. determine a frequência angular e o período das oscilações desta massa;
(1,0 ponto) b. se a posição inicial for
e a velocidade inicial for
, descreva a posiçāo em funçāo do tempo deste oscilador.
(1,0 ponto) a. determine a frequência angular e o período das oscilações desta massa;
(1,0 ponto) b. se a posição inicial for
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece os dados abaixo.
Perguntas:
- (a) Determine a frequência angular e o período das oscilações da massa presa à mola.
- (b) Com posição inicial
e velocidade inicial , descreva a posição em função do tempo.
Dados fornecidos:
- Massa:
. - Constante elástica da mola:
. - Posição inicial:
. - Velocidade inicial:
.
Passo 2
Equação de movimento para massa presa a mola (oscilador harmônico sem amortecimento): a segunda lei de Newton dá
Aqui
é a aceleração (segunda derivada de
em relação ao tempo),
é a massa e
a constante da mola. Essa equação tem solução oscilatória com frequência angular definida por
Explicando:
(omega) é a frequência angular, medida em rad/s, que determina quão rápido a partícula oscila. Quanto maior
(mola mais rígida) ou menor
(massa menor), maior será
.
Passo 3
Calculemos
usando os números dados:
Simplificando
. Portanto
Observação: aqui mostrei a forma exata
e a aproximação numérica com três casas decimais.
Passo 4
Período
(tempo de uma oscilação completa) está relacionado com
por
Substituindo
,
Agora a aproximação numérica:
Explicando: o período é o inverso da frequência (a frequência angular
está em rad/s, daí o fator
na relação).
Passo 5
Agora parte (b): forma geral da solução da equação homogênea é uma combinação de seno e cosseno ou uma amplitude com fase. Usamos a forma com amplitude
e fase
:
Aqui
é a amplitude (máximo deslocamento em metros) e
é a fase inicial (em radianos). A velocidade obtida derivando em relação ao tempo é
Explicando: derivada de
dá
, e aparece o fator
por regra da cadeia.
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais em
:
A primeira equação dá
. Isso implica que
é um ângulo onde o cosseno é zero, isto é
. Para decidir o sinal (qual dessas possibilidades corresponde à condição de velocidade), usamos a segunda equação.
Passo 7
Como
, então
.
- Se
, a segunda equação fica , daí (A negativo). - Se
, a segunda equação fica , daí (A positivo).
A amplitude
é convencionalmente tomada positiva, então escolhemos
, que corresponde a
(uma escolha simples dentre as equivalentes). Assim
Passo 8
Calcule
numericamente e em forma exata:
Agora substituímos
,
e
na solução. Com
,
Usando a identidade
, obtemos a forma mais simples
Passo 9
Substituindo os valores calculados
e
, a posição em função do tempo fica
Verificação rápida em
:
(porque
). Velocidade inicial:
, então
, conforme pedido.