Idem para a função f\) abaixo: \[f(x)= \begin{cases}\frac{x-1}{1-x^{3}} & \text { se } x \neq 1 \\\ a & \text { se } x=1\end{cases}
no ponto (x=1]

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \frac{x-1}{1-x^{3}}, & x\neq1,\\\ a, & x=1, \end{cases}
e pede para estudar o comportamento em x=1. Vamos calcular o limite \lim_{x\to1}f(x) e, em seguida, determinar o valor de a para que f seja contínua em x=1.

Passo 2

Para x\neq1, observe que
1-x^{3} = (1-x)\,(1+x+x^{2}).
Logo,
\frac{x-1}{1-x^{3}} = \frac{x-1}{-(x-1)\,(1+x+x^{2})} = -\frac{1}{1+x+x^{2}},
sempre que x\neq1.

Passo 3

Com a forma simplificada, o limite quando x\to1 fica
\lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}\Bigl(-\frac{1}{1+x+x^{2}}\Bigr) = -\frac{1}{1+1+1} = -\frac{1}{3}.

Passo 4

Para que f seja contínua em x=1, devemos ter
\lim_{x\to1}f(x)=f(1),
isto é,
a = -\frac{1}{3}.

Resposta

Para que f seja contínua em x=1, deve-se escolher
a = -\frac{1}{3}.

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