Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 3} \sqrt[3]{\frac{x^{2}+5 x+3}{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{x^{2} + 5x + 3}{x^{2} - 1}}
Este limite envolve uma função composta: a parte interna é uma função racional e por fora há uma raiz cúbica. Vamos usar o fato de que polinômios e razões de polinômios são contínuos onde o denominador não se anula, e que a função raiz cúbica é contínua para todo real.

Passo 2

Antes de substituir x=3, verificamos se o denominador fica não nulo em x=3:
x^{2}-1 \bigl|_{x=3} = 3^{2}-1 = 8 \neq 0.
Portanto, a função interna \displaystyle x \mapsto \frac{x^{2}+5x+3}{x^{2}-1}
é contínua num entorno de x=3 e podemos calcular seu limite simplesmente substituindo x=3.

Passo 3

Calculamos
\lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 5x + 3}{x^{2} - 1} = \frac{3^{2} + 5\cdot 3 + 3}{3^{2} - 1} = \frac{9 + 15 + 3}{9 - 1} = \frac{27}{8}.

Passo 4

Agora aplicamos continuidade da raiz cúbica:
\lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{x^{2}+5x+3}{x^{2}-1}} = \sqrt[3]{\lim_{x \to 3} \frac{x^{2}+5x+3}{x^{2}-1}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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