Se A é idempotente (A^2=A) e A neq I, mostre que det(A)=0.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada tal que
A^2 = A
(chamamos isso de matriz idempotente) e que A neq I. O objetivo é mostrar que det(A)=0. Para isso, vamos usar propriedades de determinante e o fato de que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo.

Passo 2

Aplicamos a função determinante na igualdade matricial A^2 = A. Como a determinante de um produto é o produto das determinantes, temos
det(A^2) = det(A),
Mas também vale det(A^2)=l(det(A)r)^2. Logo,
l(det(A)r)^2 = det(A),

Passo 3

A equação
l(det(A)r)^2 = det(A)
é equivalente a
det(A),l(det(A)-1r)=0
Desse produto, seguem duas possibilidades:
det(A)=0 ou det(A)=1

Passo 4

Se assumíssemos det(A)=1, então A seria invertível. Multiplicando A^2=A pela inversa A^-1 obteríamos
A = I,
o que contraria a hipótese Aneq I. Portanto, a única opção compatível é
det(A)=0

Resposta

det(A)=0.

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