Se
é idempotente
e
,
que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada tal que
(chamamos isso de matriz idempotente) e que
. O objetivo é mostrar que
. Para isso, vamos usar propriedades de determinante e o fato de que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é não nulo.
Passo 2
Aplicamos a função determinante na igualdade matricial
. Como a determinante de um produto é o produto das determinantes, temos
Mas também vale
. Logo,
Passo 3
A equação
é equivalente a
Desse produto, seguem duas possibilidades:
Passo 4
Se assumíssemos
, então
seria invertível. Multiplicando
pela inversa
obteríamos
o que contraria a hipótese
. Portanto, a única opção compatível é