(Sistemas parametrizados) Para quais o sistema abaixo é possível?
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em três incógnitas
Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares, calculando o determinante da matriz de coeficientes para identificar para quais (k] a matriz é inversível (solução única) e, nos casos singulares, aplicar o critério de Rouché–Capelli para ver se há solução ou não.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & k 1 & k & 4
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
Para todo kneq 1pmraiz3 temos det(A)neq0, a matriz é inversível e o sistema tem solução única (portanto é possível).
Passo 4
Para k = 1pmraiz3 a matriz é singular e o sistema pode ser ou indeterminado ou impossível. Podemos verificar a consistência tentando expressar a terceira equação como combinação linear das duas primeiras:
se existissem alpha,beta tais que
x+ky+4z =alpha(x+y+z)+beta(x+2y+kz),
então das componentes em x, y, z e dos termos constantes viria um sistema para alpha,beta que leva a duas condições contraditórias para k. Concluímos que, quando det(A)=0, o sistema não é consistente e não tem solução.