(Sistemas parametrizados) Para quais k o sistema abaixo é possível?
l x+y+z=1 x+2 y+k z=2 x+k y+4 z=3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em três incógnitas
Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares, calculando o determinante da matriz de coeficientes para identificar para quais (k] a matriz é inversível (solução única) e, nos casos singulares, aplicar o critério de Rouché–Capelli para ver se há solução ou não.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & k 1 & k & 4
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotl(2cdot4 - kcdot kr) -1cdotl(1cdot4 - kcdot1r) +1cdotl(1cdot k - 2cdot1r)

Passo 3

Simplificando,
det(A) =(8 - k^2) - (4 - k) + (k - 2) =8 - k^2 -4 + k + k -2 =2 + 2k - k^2 =3 - (k-1)^2
Logo det(A)=0 quando
3 - (k-1)^2 = 0 Longrightarrow (k-1)^2 = 3 Longrightarrow k = 1 pm raiz3
Para todo kneq 1pmraiz3 temos det(A)neq0, a matriz é inversível e o sistema tem solução única (portanto é possível).

Passo 4

Para k = 1pmraiz3 a matriz é singular e o sistema pode ser ou indeterminado ou impossível. Podemos verificar a consistência tentando expressar a terceira equação como combinação linear das duas primeiras:
se existissem alpha,beta tais que
x+ky+4z =alpha(x+y+z)+beta(x+2y+kz),
então das componentes em x, y, z e dos termos constantes viria um sistema para alpha,beta que leva a duas condições contraditórias para k. Concluímos que, quando det(A)=0, o sistema não é consistente e não tem solução.

Resposta

O sistema é possível para todos os valores de
kneq 1pmraiz3

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