Determine a equação do plano que passa por (1,0,2),(0,1,-1),(2,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos P1=(1,0,2), P2=(0,1,-1) e P3=(2,1,0). Vamos usar geometria no espaço: para determinar o plano precisamos de um vetor normal, que obtém-se pelo produto vetorial de dois vetores quaisquer do plano.

Passo 2

Construímos dois vetores que estão no plano, por exemplo
vec v = P2 - P1 = (0-1,;1-0,;-1-2) = (-1,1,-3),
vec u = P3 - P1 = (2-1,;1-0,;0-2) = (1,1,-2)

Passo 3

O vetor normal vec n ao plano é dado por
vec n = vec v times vec u = i & j & k -1 & 1 & -3 1 & 1 & -2 = (1cdot(-2)-(-3)cdot1,,-(-3)cdot1-(-1)cdot(-2),,-1cdot1-1cdot1) = (1,-5,-2)

Passo 4

A equação geral do plano com normal vec n=(a,b,c) que passa por P1=(x1,y1,z1) é
a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0
Substituindo (a,b,c)=(1,-5,-2) e P1=(1,0,2), temos
1(x-1) - 5(y-0) - 2(z-2) = 0 Longrightarrow x - 5y - 2z + 3 = 0

Resposta

A equação do plano é x - 5y - 2z + 3 = 0.

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