2- A identidade vetorial abaixo é verdadeira?
\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{d})=\mathbf{d} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})=\mathbf{b} \cdot(\mathbf{d} \times \mathbf{a})

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a identidade vetorial envolvendo o produto misto (ou produto escalar triplo)
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{d}) =\mathbf{d}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) =\mathbf{b}\cdot(\mathbf{d}\times \mathbf{a}).
Este conteúdo é sobre propriedade de permutação cíclica do produto misto.

Passo 2

Lembre que o produto misto pode ser escrito como determinante das componentes dos vetores:
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{d}) =\det \begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z\\\ b_x & b_y & b_z\\\ d_x & d_y & d_z \end{pmatrix}.

Passo 3

Uma propriedade fundamental de determinantes é que permutar ciclicamente as linhas (ou as colunas) não altera o valor do determinante. Ou seja,
\det \begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z\\\ b_x & b_y & b_z\\\ d_x & d_y & d_z \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} d_x & d_y & d_z\\\ a_x & a_y & a_z\\\ b_x & b_y & b_z \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} b_x & b_y & b_z\\\ d_x & d_y & d_z\\\ a_x & a_y & a_z \end{pmatrix}.

Passo 4

Cada uma dessas permutações corresponde exatamente aos produtos mistos:
\det \begin{pmatrix} a\b\d \end{pmatrix} =\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{d}), \quad \det \begin{pmatrix} d\a\b \end{pmatrix} =\mathbf{d}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}), \quad \det \begin{pmatrix} b\d\a \end{pmatrix} =\mathbf{b}\cdot(\mathbf{d}\times \mathbf{a}).
Pela invariância do determinante sob permutação cíclica, os três produtos mistos são iguais.

Resposta

A identidade é verdadeira.

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