5- Para o seguinte campo de velocidade:
- Calcule a aceleração Lagrangeana na direção
;
- Calcule a trajetória na direção
;
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade
e pede: (i) a aceleração lagrangeana na direção
e (ii) a trajetória na direção
. Vamos usar dois conceitos principais: a derivada material (aceleração lagrangeana) e a integração de uma EDO de fluxo para achar a linha de corrente.
Passo 2
A aceleração lagrangeana
é dada pela derivada material
Aqui o campo é estacionário, logo
. Para a componente
(direção
) precisamos calcular
Passo 3
Calculando os derivadas parciais de
:
Então
Passo 4
Para a trajetória em
, escrevemos a EDO de linha de corrente:
É uma equação diferencial linear de coeficiente constante.
Passo 5
Resolvendo
Exponenciando e definindo
, obtemos
Resposta
A aceleração lagrangeana na direção
é
e a trajetória na direção
é
onde
.