5- Para o seguinte campo de velocidade:
\mathbf{u}=\frac{U_{o} x_{1}}{L} \widehat{e}_{1}+\frac{U_{o}}{L} x_{2} \widehat{e}_{2}
  • Calcule a aceleração Lagrangeana na direção x_{1};
  • Calcule a trajetória na direção x_{2};

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{u} = \frac{U_{0}\,x_{1}}{L}\,\widehat e_{1} \;+\;\frac{U_{0}\,x_{2}}{L}\,\widehat e_{2}
e pede: (i) a aceleração lagrangeana na direção x_{1} e (ii) a trajetória na direção x_{2}. Vamos usar dois conceitos principais: a derivada material (aceleração lagrangeana) e a integração de uma EDO de fluxo para achar a linha de corrente.

Passo 2

A aceleração lagrangeana \mathbf{a} é dada pela derivada material
\mathbf{a} = \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \;+\; (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}.
Aqui o campo é estacionário, logo \partial\mathbf{u}/\partial t = 0. Para a componente a_{1} (direção x_{1}) precisamos calcular
a_{1} = (\mathbf{u}\cdot\nabla)u_{1} \quad\text{com}\quad u_{1} = \frac{U_{0}\,x_{1}}{L}.

Passo 3

Calculando os derivadas parciais de u_{1}:
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} = \frac{U_{0}}{L}, \qquad \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} = 0.
Então
a_{1} = u_{1}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} + u_{2}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} = \frac{U_{0}\,x_{1}}{L}\cdot\frac{U_{0}}{L} + 0 = \frac{U_{0}^{2}\,x_{1}}{L^{2}}.

Passo 4

Para a trajetória em x_{2}, escrevemos a EDO de linha de corrente:
\frac{dx_{2}}{dt} = u_{2}(x_{2}) = \frac{U_{0}}{L}\,x_{2}.
É uma equação diferencial linear de coeficiente constante.

Passo 5

Resolvendo
\frac{dx_{2}}{dt} = \frac{U_{0}}{L}\,x_{2} \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{1}{x_{2}}\,dx_{2} = \int\frac{U_{0}}{L}\,dt \;\Longrightarrow\; \ln|x_{2}| = \frac{U_{0}\,t}{L} + C.
Exponenciando e definindo x_{2}(0)=x_{2,0}, obtemos
x_{2}(t) = x_{2,0}\,\exp\!\Bigl(\frac{U_{0}\,t}{L}\Bigr).

Resposta

A aceleração lagrangeana na direção x_{1} é
a_{1} = \frac{U_{0}^{2}\,x_{1}}{L^{2}},
e a trajetória na direção x_{2} é
x_{2}(t) = x_{2,0}\,\exp\!\Bigl(\frac{U_{0}\,t}{L}\Bigr),
onde x_{2,0}=x_{2}(0).

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